Granica ciągu

[Zapytajlo20]

Granica ciągu, ile wynosi, czy 1? Jak udowodnić?

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \sqrt[n]{n} } }\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\sqrt[n]{n}} = \sqrt[n^2]{n}.}\)

[Zapytajlo20]

Granica ciągu przy n dążącym do nieskończoności to 1, jak mniemam, ale czy można to jakoś udowodnić? Bo takie zadanie na kolokwium, wydaję się za proste żeby napisać że to się równa jeden i koniec, można to jakoś lepiej uzasadnić?

[janusz47]

\(\displaystyle{ n = \left[ 1 + (\sqrt[n^2]{n}- 1)\right]^{n^2} =...}\)

[Jan Kraszewski]

A z czego możesz korzystać? Czy możesz skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1 }\) ?

JK

[a4karo]

\(1<\sqrt[n]{\sqrt[n] n} <\sqrt[n]n\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ n = \left[ 1 + (\sqrt[n^2]{1}- 1)\right]^{n^2} =...}\)

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ n = \left[ 1 + (\sqrt[n^2]{1}- 1)\right]^{n^2} =...}\)

To nie jest prawda

[janusz47]

Nie chciała mi wejść poprawka dwa razy wyświetla się błąd, może teraz się uda:

\(\displaystyle{ n = \left[ 1 +(\sqrt[n^2]{n} -1) \right]^{n^2} =...}\)

[Janusz Tracz]

Powiem szczerze, że nie wiem jak to może pomóc w policzeniu granicy z zadani. Mogę prosić o dalsze przekształcenia?

[Premislav]

To raz dwa wychodzi z twierdzenia o trzech ciągach i nierówności między średnimi.

Oczywiście \(\displaystyle{ 1\le \sqrt[n^{2}]{n}}\), a ponadto z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:
\(\displaystyle{ \sqrt[n^{2}]{n}\le \frac{n+\overbrace{1+\ldots+1}^{n^{2}-1}}{n^{2}}=\frac{n+n^{2}-1}{n^{2}}}\)
i pozostaje wywnioskować, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{n+n^{2}-1}{n^{2}}=1}\)
i powołać się na wspomniane twierdzenie o trzech ciągach.

Dodano po 6 minutach 19 sekundach:
A z Przekształcenia Janusza można tak: Bernoulli welcome to (Polish Barbados i Galapagos)
\(\displaystyle{ n=\left(1+\left(\sqrt[n^{2}]{n}-1\right)\right)^{n^{2}}\ge 1+n^{2}\left(\sqrt[n^{2}]{n}-1\right)}\), a stąd i z oczywistej nierówności
\(\displaystyle{ \sqrt[n^{2}]{n}\ge 1, \ n\in \NN^{+}}\) mamy
\(\displaystyle{ |\sqrt[n^{2}]{n}-1|=\sqrt[n^{2}]{n}-1\le \frac{n-1}{n^{2}}}\)
Ciąg po prawej w oczywisty sposób dąży do zera, zatem \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n^{2}]{n}=1}\).

[janusz47]

\(\displaystyle{ n = \left(n^{\frac{1}{n^2}}\right)^{n^2} = \left[ 1 + \left( n^{\frac{1}{n^2}} -1\right)\right] ^{n^2} > \left[ 1 + \left( n^{\frac{1}{n^2}} -1\right)\right] ^{n} = 1 + n\left( n^{\frac{1}{n^2}}- 1\right) + \frac{n (n-1)}{2}\left(n^{\frac{1}{n^2}} -1\right) +...+\left(n^{\frac{1}{n^2}} -1\right)^{n} >\\> \frac{n(n-1)}{2}\left( n^{\frac{1}{n^2}} -1 \right) }\)

\(\displaystyle{ 0 <\left| n^{\frac{1}{n^2}} -1 \right| < \frac{2n}{n^2 - n} \rightarrow 0, \ \ n\rightarrow \infty }\)

\(\displaystyle{ n^{\frac{1}{n^2}} \rightarrow 1, \ \ \sqrt[n^2]{n} \rightarrow 1, \ \sqrt[n]{\sqrt[n]{n}} \rightarrow 1, \ \ n\rightarrow \infty. }\)

[a4karo]

Zacznijmy od prostego faktu: dla każdego `n` zachodzi `3^n>n`, czyli \(3>\sqrt[n]n\).
Weźmy dowolne `varepsilon>0` i przypuśćmy nie wprost, że dla nieskończenie wielu `n` zachodzi nierówność \(\sqrt[n]{\sqrt[n] n}>1+\varepsilon\), Wtedy z nierówności Bernoulliego mamy \(\sqrt[n]n>(1+\varepsilon)^n>1+n\varepsilon\). Z obu tych nierówności wynika, że dla nieskończenie wielu `n` zachodzi
\(3>1+n\varepsilon\),
co daje oczywistą sprzeczność z założeniem.