Dowód
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Dowód
Ops, przepraszam. Nierównośc jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych, ale wystarczy ją udowodnić dla dodatnich `x` (dlaczego?)
Dzięki JT
Dzięki JT
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Dowód
Można też postąpić tak:
dla \(\displaystyle{ t> 0}\) zachodzi dość oczywista nierówność
\(\displaystyle{ 1+t^{2}\ge \sqrt{1+t^{2}}}\), po prostu jak spierwiastkujemy liczbę nie mniejszą od \(\displaystyle{ 1}\), to dostaniemy liczbę od niej nie większą.
Przekształcamy tę nierówność równoważnie kolejno tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}+\frac{t^{2}}{\sqrt{1+t^{2}}}\ge 1\\\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\ge \frac{1-\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}}{t^{2}}}\)
Teraz całkujemy to stronami w granicach od zera do \(\displaystyle{ x}\), gdzie \(\displaystyle{ x>0}\), dostając z monotoniczności całki
\(\displaystyle{ \ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\ge \frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\\1+x\ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\ge \sqrt{1+x^{2}}}\)
c.k.d.
A jeśli chodzi o ujemne \(\displaystyle{ x}\), to wystarczy zauważyć, że zmieniając \(\displaystyle{ x>0}\) na \(\displaystyle{ -x}\), nic nie zmieniamy, ponieważ
\(\displaystyle{ -x\ln\left(-x+\sqrt{1+x^{2}}\right)=-x\ln \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}+x}\right)=x\ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}\)
dla \(\displaystyle{ t> 0}\) zachodzi dość oczywista nierówność
\(\displaystyle{ 1+t^{2}\ge \sqrt{1+t^{2}}}\), po prostu jak spierwiastkujemy liczbę nie mniejszą od \(\displaystyle{ 1}\), to dostaniemy liczbę od niej nie większą.
Przekształcamy tę nierówność równoważnie kolejno tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}+\frac{t^{2}}{\sqrt{1+t^{2}}}\ge 1\\\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\ge \frac{1-\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}}{t^{2}}}\)
Teraz całkujemy to stronami w granicach od zera do \(\displaystyle{ x}\), gdzie \(\displaystyle{ x>0}\), dostając z monotoniczności całki
\(\displaystyle{ \ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\ge \frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\\1+x\ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\ge \sqrt{1+x^{2}}}\)
c.k.d.
A jeśli chodzi o ujemne \(\displaystyle{ x}\), to wystarczy zauważyć, że zmieniając \(\displaystyle{ x>0}\) na \(\displaystyle{ -x}\), nic nie zmieniamy, ponieważ
\(\displaystyle{ -x\ln\left(-x+\sqrt{1+x^{2}}\right)=-x\ln \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}+x}\right)=x\ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}\)