Dowód

[Nadine]

Jeszcze zanim sobie dam spokój, chciałam skończyć dowody, ale ten mnie trzyma.
\(\displaystyle{
1+x \ln(x + \sqrt{(1+x^2)} ) \ge \sqrt{1+x^2}}\)

[a4karo]

Nie lubisz pisać założeń? Dla `x=-1` to nie jest prawda.

Skorzystaj z rady danej Ci w poście pt. przekształcenia

[Nadine]

Nie mam tu żadnych założeń właśnie, dlatego się gubię

Dodano po 46 sekundach:
W poleceniu nie ma nic tylko Dowieść, że:

[a4karo]

Nierównośc jest prawdziwa dla `x>0`

[Nadine]

Znaczy, tak, dziękuję za uwagę.
Po prostu myślałam, że to jest poprawne na całej osi, przez brak założeń w poleceniu, a tak na spokojnie sobie poradzę.

[a4karo]

Ops, przepraszam. Nierównośc jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych, ale wystarczy ją udowodnić dla dodatnich `x` (dlaczego?)

Dzięki JT

[Dasio11]

Jeśli znasz funkcje hiperboliczne, to możesz podstawić \(\displaystyle{ x = \sinh t}\), co znacznie upraszcza nierówność.

[Premislav]

Można też postąpić tak:
dla \(\displaystyle{ t> 0}\) zachodzi dość oczywista nierówność
\(\displaystyle{ 1+t^{2}\ge \sqrt{1+t^{2}}}\), po prostu jak spierwiastkujemy liczbę nie mniejszą od \(\displaystyle{ 1}\), to dostaniemy liczbę od niej nie większą.
Przekształcamy tę nierówność równoważnie kolejno tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}+\frac{t^{2}}{\sqrt{1+t^{2}}}\ge 1\\\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\ge \frac{1-\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}}{t^{2}}}\)
Teraz całkujemy to stronami w granicach od zera do \(\displaystyle{ x}\), gdzie \(\displaystyle{ x>0}\), dostając z monotoniczności całki
\(\displaystyle{ \ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\ge \frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\\1+x\ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\ge \sqrt{1+x^{2}}}\)
c.k.d.

A jeśli chodzi o ujemne \(\displaystyle{ x}\), to wystarczy zauważyć, że zmieniając \(\displaystyle{ x>0}\) na \(\displaystyle{ -x}\), nic nie zmieniamy, ponieważ
\(\displaystyle{ -x\ln\left(-x+\sqrt{1+x^{2}}\right)=-x\ln \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}+x}\right)=x\ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}\)