Obliczyć granice ciągów

[masterro]

Dzień dobry
Mój problem z przykładem jest następujący, wiem, że muszę użyć twierdzenia o trzech ciągach, ale \(\displaystyle{ n\cos 5n}\) w mianowniku sprawia, że nie mam pojęcia jak to zastosować.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2} - n \sin 3n}{n^{2} + n \cos 5n} }\)

[Premislav]

Może tak:
mamy \(\displaystyle{ -1\le \sin 3n\le 1, \ -1\le \cos 5n\le 1}\), a zatem dla \(\displaystyle{ n>1}\) jest
\(\displaystyle{ \frac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{n^{2}-n}{n^{2}+n}\le\frac{n^{2}-n\sin 3n}{n^{2}+n\cos 5n}\le \frac{n^{2}+n}{n^{2}-n}=\frac{1+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n}}}\)
i skrajne ciągi mają granicę równą \(\displaystyle{ 1}\).
Intuicja jest taka, że jeśli mamy ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku, to zwiększając mianownik, zmniejszymy wartość ułamka, a zwiększając licznik, zwiększymy wartość ułamka itd.

[masterro]

Dziękuję, teraz już rozumiem.