Różne wyrazy

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5903
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2429 razy
Pomógł: 652 razy

Różne wyrazy

Post autor: mol_ksiazkowy » 23 sty 2020, o 19:41

Określony jest ciąg
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 =2 \\ x_{n+1} = \frac{2+x_n}{1-2x_n} \end{cases} }\)
Udowodnić, że wszystkie wyrazy tego ciągu są różne.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17549
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Różne wyrazy

Post autor: a4karo » 23 sty 2020, o 22:02

Niech \(\tan y_n=x_n\)
Wtedy mamy
$$\tan y_{n+1}=\frac{\tan \arctan 2+\tan y_n}{1-\tan \arctan 2\cdot \tan y_n}=\tan(\arctan 2+y_n)$$
a stąd łatwo wynika różnowartościowość ciągu `x_n`.

ODPOWIEDZ