Matematyka.pl

Dzień dobry,
robiłam zadanie i wpadłam na pomysł ale nie wiem czy jest poprawny, mianowicie:

Skoro
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = e}\)
to
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{n} = \sqrt[n]{e}}\)
więc czy poprawnym jest
\(\displaystyle{ \ln \left( 1+ \frac{1}{y} \right) = \frac{1}{y}}\)

Skąd masz pierwszą linijkę ? Poszukaj jak jest poprawnie.

W sensie, że działa to tylko przy granicach?

Jeśli tak to ma ktoś może wskazówkę jak pokazać, że
\(\displaystyle{ x>0\\
x + \frac{x^2}{2} < \ln(1+x)}\)

Nadine pisze: ↑22 sty 2020, o 22:12 W sensie, że działa to tylko przy granicach?

Jeśli tak to ma ktoś może wskazówkę jak pokazać, że
\(\displaystyle{
x>0
}\)
\(\displaystyle{
x + \frac{x^2}{2} < ln(1+x)}\)

To nie jest prawda. Więcej: zachodzi `\ln (1+x)<x`

A jeśli chodziło o nierówność \(\displaystyle{ x - \frac{x^2}{2} < \ln(1+x)}\) dla \(\displaystyle{ x > 0}\), to zacznij od zróżniczkowania jej stronami.

Przepraszam, że tak długo.
Czyli jeśli zachodzi to dla pochodnych to nierówność jest prawdziwa?

Nie. Z faktu, że \(\displaystyle{ f'<g'}\) dla `x>0` nie wynika, że `f<g`. Ale jeżeli dodatkowo `f(0)=g(0)` to już tak.

Czyli jeżeli
\(\displaystyle{
f(0) = g(0)
}\)
to mogę kierować się pochodnymi

Dokładniej: jeśli funkcje \(\displaystyle{ f, g : [a, b) \to \RR}\) są ciągłe na przedziale \(\displaystyle{ [a, b)}\) i różniczkowalne wewnątrz, a ponadto \(\displaystyle{ f(a) = g(a)}\) oraz \(\displaystyle{ f'(x) < g'(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in (a, b)}\), to wtedy \(\displaystyle{ f(x) < g(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in (a, b)}\). Jest to prawdą także gdy przedział jest nieograniczony z prawej strony, czyli gdy \(\displaystyle{ b = \infty}\).

Stosujemy ten fakt do funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x - \frac{x^2}{2}, g(x) = \ln(1+x)}\) na przedziale \(\displaystyle{ [0, \infty)}\).

Dziękuję bardzo