Przekształcenie

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Nadine
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Przekształcenie

Post autor: Nadine » 22 sty 2020, o 21:26

Dzień dobry,
robiłam zadanie i wpadłam na pomysł ale nie wiem czy jest poprawny, mianowicie:

Skoro
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = e}\)
to
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{n} = \sqrt[n]{e}}\)
więc czy poprawnym jest
\(\displaystyle{ \ln \left( 1+ \frac{1}{y} \right) = \frac{1}{y}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23022
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3121 razy

Re: Przekształcenie

Post autor: piasek101 » 22 sty 2020, o 21:48

Skąd masz pierwszą linijkę ? Poszukaj jak jest poprawnie.

Nadine
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Przekształcenie

Post autor: Nadine » 22 sty 2020, o 22:12

W sensie, że działa to tylko przy granicach?

Jeśli tak to ma ktoś może wskazówkę jak pokazać, że
\(\displaystyle{ x>0\\
x + \frac{x^2}{2} < \ln(1+x)}\)
Ostatnio zmieniony 22 sty 2020, o 22:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17540
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2957 razy

Re: Przekształcenie

Post autor: a4karo » 22 sty 2020, o 22:21

Nadine pisze:
22 sty 2020, o 22:12
W sensie, że działa to tylko przy granicach?

Jeśli tak to ma ktoś może wskazówkę jak pokazać, że
\(\displaystyle{
x>0
}\)

\(\displaystyle{
x + \frac{x^2}{2} < ln(1+x)}\)
To nie jest prawda. Więcej: zachodzi `\ln (1+x)<x`

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8745
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1854 razy

Re: Przekształcenie

Post autor: Dasio11 » 23 sty 2020, o 09:33

A jeśli chodziło o nierówność \(\displaystyle{ x - \frac{x^2}{2} < \ln(1+x)}\) dla \(\displaystyle{ x > 0}\), to zacznij od zróżniczkowania jej stronami.

Nadine
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Przekształcenie

Post autor: Nadine » 30 sty 2020, o 22:05

Przepraszam, że tak długo.
Czyli jeśli zachodzi to dla pochodnych to nierówność jest prawdziwa?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17540
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2957 razy

Re: Przekształcenie

Post autor: a4karo » 30 sty 2020, o 22:14

Nie. Z faktu, że \(\displaystyle{ f'<g'}\) dla `x>0` nie wynika, że `f<g`. Ale jeżeli dodatkowo `f(0)=g(0)` to już tak.

Nadine
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Przekształcenie

Post autor: Nadine » 30 sty 2020, o 22:18

Czyli jeżeli
\(\displaystyle{
f(0) = g(0)
}\)

to mogę kierować się pochodnymi

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8745
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1854 razy

Re: Przekształcenie

Post autor: Dasio11 » 30 sty 2020, o 22:20

Dokładniej: jeśli funkcje \(\displaystyle{ f, g : [a, b) \to \RR}\) są ciągłe na przedziale \(\displaystyle{ [a, b)}\) i różniczkowalne wewnątrz, a ponadto \(\displaystyle{ f(a) = g(a)}\) oraz \(\displaystyle{ f'(x) < g'(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in (a, b)}\), to wtedy \(\displaystyle{ f(x) < g(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in (a, b)}\). Jest to prawdą także gdy przedział jest nieograniczony z prawej strony, czyli gdy \(\displaystyle{ b = \infty}\).

Stosujemy ten fakt do funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x - \frac{x^2}{2}, g(x) = \ln(1+x)}\) na przedziale \(\displaystyle{ [0, \infty)}\).

Nadine
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Przekształcenie

Post autor: Nadine » 30 sty 2020, o 22:24

Dziękuję bardzo

ODPOWIEDZ