\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[5]{2x-1}-\sqrt[3]{3x-2}}{\sqrt{4x-3}-1}}\)
Jak najszybciej to ugryźć bez wykorzystania reguły de L'Hospitala?
Granica z pierwiastkami
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Granica z pierwiastkami
Co do ilorazów różnicowych, mogło chodzić o to:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt[5]{2x-1}-\sqrt[3]{3x-2}}{\sqrt{4x-3}-1}=\frac{\sqrt[5]{2x-1}-1}{\sqrt{4x-3}-1}-\frac{\sqrt[3]{3x-2}-1}{\sqrt{4x-3}-1}}\)
a dalej
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt[5]{2x-1}-1}{\sqrt{4x-3}-1}-\frac{\sqrt[3]{3x-2}-1}{\sqrt{4x-3}-1}=\frac{1}{2}\cdot \blue{\frac{\sqrt[5]{2x-1}-1}{2x-2}}\cdot \red{\frac{4x-4}{\sqrt{4x-3}-1}} -\frac{3}{4}\cdot \green{\frac{\sqrt[3]{3x-2}-1}{3x-3}} \cdot \red{\frac{4x-4}{\sqrt{4x-3}-1}} }\)
Czerwone dąży do
\(\displaystyle{ \frac{1}{f'(1)}}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x}}\),
niebieskie do \(\displaystyle{ g'(1)}\), gdzie \(\displaystyle{ g(x)=\sqrt[5]{x}}\), a zielone do
\(\displaystyle{ h'(1)}\), gdzie \(\displaystyle{ h(x)=\sqrt[3]{x}}\).
Chociaż zawsze można uznać, że korzystanie z tych wzorów na pochodne w momencie, gdy liczymy taką granicę, to zjadanie własnego ogona, więc
zawsze można policzyć w ogólności
\(\displaystyle{ \lim_{x\to y}\frac{x^{a}-y^{a}}{x-y}}\), gdzie \(\displaystyle{ a>0}\) (tutaj wystarcza nawet \(\displaystyle{ a=\frac{1}{n}, \ n\in \NN^{+}}\), a w tym przypadku sprawę załatwia wzór na różnicę n-tych potęg: \(\displaystyle{ \kappa^{n}-\eta^{n}=(\kappa-\eta)\sum_{i=0}^{n-1}\kappa^{n-1-i}\eta^{i}}\)).
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt[5]{2x-1}-\sqrt[3]{3x-2}}{\sqrt{4x-3}-1}=\frac{\sqrt[5]{2x-1}-1}{\sqrt{4x-3}-1}-\frac{\sqrt[3]{3x-2}-1}{\sqrt{4x-3}-1}}\)
a dalej
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt[5]{2x-1}-1}{\sqrt{4x-3}-1}-\frac{\sqrt[3]{3x-2}-1}{\sqrt{4x-3}-1}=\frac{1}{2}\cdot \blue{\frac{\sqrt[5]{2x-1}-1}{2x-2}}\cdot \red{\frac{4x-4}{\sqrt{4x-3}-1}} -\frac{3}{4}\cdot \green{\frac{\sqrt[3]{3x-2}-1}{3x-3}} \cdot \red{\frac{4x-4}{\sqrt{4x-3}-1}} }\)
Czerwone dąży do
\(\displaystyle{ \frac{1}{f'(1)}}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x}}\),
niebieskie do \(\displaystyle{ g'(1)}\), gdzie \(\displaystyle{ g(x)=\sqrt[5]{x}}\), a zielone do
\(\displaystyle{ h'(1)}\), gdzie \(\displaystyle{ h(x)=\sqrt[3]{x}}\).
Chociaż zawsze można uznać, że korzystanie z tych wzorów na pochodne w momencie, gdy liczymy taką granicę, to zjadanie własnego ogona, więc
zawsze można policzyć w ogólności
\(\displaystyle{ \lim_{x\to y}\frac{x^{a}-y^{a}}{x-y}}\), gdzie \(\displaystyle{ a>0}\) (tutaj wystarcza nawet \(\displaystyle{ a=\frac{1}{n}, \ n\in \NN^{+}}\), a w tym przypadku sprawę załatwia wzór na różnicę n-tych potęg: \(\displaystyle{ \kappa^{n}-\eta^{n}=(\kappa-\eta)\sum_{i=0}^{n-1}\kappa^{n-1-i}\eta^{i}}\)).