Definicja ciągłości funkcji w odniesieniu do całki

[Mondo]

Witam,

chciałbym prosić o pomoc w zrozumieniu poniższej definicji oraz jej dowodu:

Definicja: "Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła na przedziale \(\displaystyle{ [a, b]}\) to jest całkowalna"


Dowód: Dla \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) istnieje \(\displaystyle{ \delta > 0}\) taka, że \(\displaystyle{ \left| x - y \right| < \delta }\) gwarantuje
\(\displaystyle{ \left| f(x) - f(y) < \frac{ \epsilon}{b-a} \right| }\)

W powyższej nierówności nie rozumiem jej prawej strony \(\displaystyle{ \frac{ \epsilon }{b-a}}\) - czym to właściwie jest, dlaczego epsilona dzieli się przez długość przedziału?

[krl]

Funkcja ciągła \(\displaystyle{ f}\) na odcinku \(\displaystyle{ [a,b]}\) jest na nim jednostajnie ciągła. \(\displaystyle{ \epsilon'=\frac{\epsilon}{b-a}}\) jest liczbą rzeczywistą \(\displaystyle{ >0}\). Do niej stosujemy definicję jednostajnej ciągłości (funkcji \(\displaystyle{ f}\)), znajdując \(\displaystyle{ \delta>0}\) itd.

[janusz47]

Zwartość odcinka \(\displaystyle{ [a, b] }\) implikuje jednostajną ciągłość i ograniczoność funkcji \(\displaystyle{ f.}\)

Dla wybranej liczby \(\displaystyle{ \epsilon >0 }\) musimy pokazać, że istnieje podział \(\displaystyle{ P }\) odcinka \(\displaystyle{ [a, b] }\), dla którego spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ U(f,P) - L(f,P) < \epsilon. }\)
Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest jednostajnie ciągła, więc

\(\displaystyle{ \forall \epsilon >0 \ \ \exists \ \ \delta (\epsilon) >0 \ \ \forall x, y \in [ a, b] \rightarrow |f(x) - f(y) | < \frac{\epsilon}{b-a} \ \ (1) }\)

oraz na dowolnym odcinku \(\displaystyle{ s \subset [a, b] }\) wartości \(\displaystyle{ M_{s}(f), \ \ m_{s}(f) }\) są przyjmowane w pewnych punktach.

Nierówność \(\displaystyle{ (1) }\) (z podzielonym epsilonem przez długość przedziału \(\displaystyle{ [a, b] }\)) bierze się

z konstrukcji podziału przedziału \(\displaystyle{ [a, b] }\) w taki sposób, aby średnica tego podziału spełniała nierówność \(\displaystyle{ \Delta s < \delta. }\)

Niech \(\displaystyle{ P }\) będzie podziałem, w którym dla każdego \(\displaystyle{ s \in P \ \ \Delta s < \delta.}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ U(f, P) - L(f, P) = \sum_{s \in P} [M_{s}(f) - m_{s}(f)] \cdot \Delta s < \frac{\epsilon}{b -a} \cdot \sum_{s\in P} \Delta s = \frac{\epsilon}{b-a} \cdot (b-a) = \epsilon,}\)

a to mieliśmy wykazać.

[Mondo]

\(\displaystyle{ \epsilon'=\frac{\epsilon}{b-a}}\) jest liczbą rzeczywistą \(\displaystyle{ >0}\).

Ale chwila, na jakiej podstawie pochodna stałej którą jest \(\displaystyle{ \epsilon}\) wychodzi Ci nie zerowa?

janusz47, dziękuję za szczegółowe rozpisanie, natomiast nie rozumiem wciąż tego:

Nierówność \(\displaystyle{ (1) }\) (z podzielonym epsilonem przez długość przedziału \(\displaystyle{ [a, b] }\)) bierze się
z konstrukcji podziału przedziału \(\displaystyle{ [a, b] }\) w taki sposób, aby średnica tego podziału spełniała nierówność \(\displaystyle{ \Delta s < \delta. }\)

Dlaczego nie możemy po prostu założyć iż istnieje taki \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\), że \(\displaystyle{ \left| f(x) - f(y)\right| < \epsilon}\) ?

[janusz47]

Zauważ, że musimy wykazać nie jednostajną ciągłość funkcji na odcinku, bo ona jest jednostajna na przedziale \(\displaystyle{ [a,b], }\) lecz ograniczenie różnicy sumy górnej i dolnej na tym przedziale z definicji całki Riemanna.

[Mondo]

Zauważ, że musimy wykazać nie jednostajną ciągłość funkcji na odcinku, bo ona jest jednostajna na przedziale \(\displaystyle{ [a,b], }\) lecz ograniczenie różnicy sumy górnej i dolnej na tym przedziale z definicji całki Riemanna.

Nie jednostajną? Przecież nasza \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, co więcej jednostajnie ciągła. Więc jaką nie jednostają ciągłość masz na myśli?

Odwołujesz się też do definicji całki Riemann'a ale tam jest jedynie mowa o tym, że suma dolna i górna muszą być sobie równe. Tak więc gdybym miał to odnieść do ciągłości to biorąc pod uwagę dowolne podziały na \(\displaystyle{ [a,b]}\) aby zagwarantować ciągłość różnica pomiedzy \(\displaystyle{ L(f,P_{x})}\) i \(\displaystyle{ U(f,P_{x})}\) powina być mniejsza od pewnego \(\displaystyle{ \epsilon}\). Jakoś nie widzę tego dzielenia przez długość przedziału, nie ma to dla mnie żadnego sensu i niczego nie gwaratuje (pewnie czegoś nie dostrzegam)

Dodano po 11 minutach 36 sekundach:
UPDATE
-----------

Przejrzałem ten dowód jeszcze raz dokładnie i jak dla mnie sprawa jest prosta to \(\displaystyle{ a - b }\) w mianowniku to tylko inna wersja dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) skonstryuowana w ten sposób by w odpowiednim momencie wszystko się ładne skróciło do
\(\displaystyle{ \frac{\epsilon}{b-a} \sum_{k=1}^{n} \delta x_k = \epsilon }\)

[janusz47]

Nie rozumiesz definicji całki Riemanna.

To jest ta sama wersja dowodu tylko inne oznaczenie średnicy podziału \(\displaystyle{ P }\) odcinka \(\displaystyle{ [a, b] }\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\delta_{k} = b-a }\)

Źle zrozumiałeś kontekst mojej poprzedniej odpowiedzi. Nie chodzi o jednostajną ciągłość funkcji \(\displaystyle{ f }\) na odcinku \(\displaystyle{ [a, b] }\) bo ta funkcja jest jednostajnie ciągła, tylko o wykazanie że różnica sum górnej i dolnej Riemanna jest mniejsza od liczby dodatniej \(\displaystyle{ \epsilon. }\)