Suma w sensie Riemanna po podziale zbioru

[Mondo]

WItam, mam problem z zrozumieniem następującej definicji: Jeśli P1 oraz P2 są różnymi podziałami zbioru [a,b] oraz \(\displaystyle{ Q = P1 \cup P2}\) (podział wspólny? EN. common refinement) \(\displaystyle{ P1 \subseteq Q}\) i \(\displaystyle{ P2 \subseteq Q}\) to wtedy:
\(\displaystyle{ L(f,P1) \le L(f,Q) \le U(f,Q) \le U(f,P2)}\)

gdzie:
\(\displaystyle{ L(f,P) = \sum_{k=1}^{n} m_k(x_k - x_{k-1})}\) (suma dolna)
\(\displaystyle{ U(f,P) = \sum_{k=1}^{n} M_k(x_k - x_{k-1})}\) (suma górna)
\(\displaystyle{ m_k = inf(f(x) : x \in x_{k-1}, x_k)}\)
\(\displaystyle{ M_k = sup(f(x) : x \in x_{k-1}, x_k)}\)


Powyższą definicję tłumaczyłem na własną rękę z książki angielsko języcznej ale wydaje mi się iż jest to odpowednik tej definicji ->

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ca%C5%82ka_Riemanna#R%C3%B3wnowa%C5%BCno%C5%9B%C4%87

I teraz w tej definicji którą przepisałem nie rozumiem dlaczego
\(\displaystyle{ L(f,P1) \le L(f,Q)}\)?
Dla przykładu jeśli mamy:
\(\displaystyle{ P1 = {[0, \frac{1}{2} ], [ \frac{1}{2} ,\frac{3}{4} ], [ \frac{3}{4} 1 ]}}\)
i
\(\displaystyle{ P2 = {[0, \frac{1}{3} ], [ \frac{1}{3} ,\frac{2}{3} ], [ \frac{2}{3} 1 ]}}\)
to \(\displaystyle{ Q = P1 \cup P2 = {[0, \frac{1}{3} ],[ \frac{1}{3}, \frac{1}{2} ],[ \frac{1}{2} \frac{2}{3} ],[ \frac{2}{3} \frac{3}{4} ],[ \frac{3}{4} ,1]}}\)
Więc wszystkie elementy P1 zawierają się w Q (w tym jego wartosci najmniejsze, kresy dolne etc). Co wiecej, porownujac pierwsze przedzialy w P1 oraz Q mamy pola \(\displaystyle{ L_{1}(f,P1) = f(0) \cdot \frac{1}{2} }\) oraz
\(\displaystyle{ L_{1}(f,Q) = f(0) \cdot \frac{1}{3} }\) Więc jak dla mnie \(\displaystyle{ L_{1}(f,Q) < L_{1}(f,P1) }\), co przeczy definicji.

Natomiast z linka wikipedi nie rozumiem zdania "Po rozdrobnieniu podziału suma dolna zwiększa się, zaś suma górna zmniejsza się" - jak to możliwe?

[Dasio11]

Co to jest \(\displaystyle{ L_1(f, Q)}\)?

[Mondo]

Co to jest \(\displaystyle{ L_1(f, Q)}\)?

Suma dolna, na podstawie jednego elementu podzbioru Q czyli \(\displaystyle{ [0, \frac{1}{3} ]}\). Co daje \(\displaystyle{ L_1(f, Q) = f(x) * \frac{1}{3} }\) a to musi być mniejsze od \(\displaystyle{ L_1(f, P1)}\)

[Dasio11]

Co wiecej, porownujac pierwsze przedzialy w P1 oraz Q mamy pola \(\displaystyle{ L_{1}(f,P1) = f(0) \cdot \frac{1}{2} }\) oraz
\(\displaystyle{ L_{1}(f,Q) = f(0) \cdot \frac{1}{3} }\) Więc jak dla mnie \(\displaystyle{ L_{1}(f,Q) < L_{1}(f,P1) }\), co przeczy definicji.

W takim razie po pierwsze: \(\displaystyle{ L_1(f, P_1) = \inf_{x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]} f(x) \cdot \frac{1}{2}}\), co niekoniecznie jest równe \(\displaystyle{ f(0) \cdot \frac{1}{2}}\). A po drugie: w jaki sposób nierówność \(\displaystyle{ L_1( f, Q ) < L_1( f, P_1 )}\) dotycząca jedynie pierwszych składników odpowiednich sum miałaby przeczyć temu, że między całymi sumami nierówność zachodzi w przeciwną stronę?

Fakt z Twojej książki jest prawdziwy, czego dowodzi się tak: podział \(\displaystyle{ Q}\) jest rozdrobnieniem podziału \(\displaystyle{ P_1}\), więc każdy przedział \(\displaystyle{ I \subseteq [a, b]}\) wyznaczony przez \(\displaystyle{ P_1}\) jest podzielony na podprzedziały \(\displaystyle{ I_1, \ldots, I_n \subseteq I}\) o rozłącznych wnętrzach wyznaczonych przez \(\displaystyle{ Q}\). W sumie \(\displaystyle{ L( f, P_1 )}\) przedziałowi \(\displaystyle{ I}\) odpowiada składnik \(\displaystyle{ \inf_{x \in I} f(x) \cdot |I|}\) (gdzie \(\displaystyle{ |I|}\) oznacza długość przedziału \(\displaystyle{ I}\)), natomiast w sumie \(\displaystyle{ L( f, Q )}\) odpowiada mu podsuma \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n \inf_{x \in I_j} f(x) \cdot |I_j|}\). Widzimy, że \(\displaystyle{ \inf_{x \in I} f(x) \le \inf_{x \in I_j} f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n |I_j| = |I|}\), a stąd

\(\displaystyle{ \inf_{x \in I} f(x) \cdot |I| \le \sum_{j=1}^n \inf_{x \in I_j} f(x) \cdot |I_j|}\).

Sumując te nierówności po wszystkich przedziałach \(\displaystyle{ I}\) wyznaczonych przez \(\displaystyle{ P_1}\), dostajemy żądane

\(\displaystyle{ L( f, P_1 ) \le L( f, Q )}\).

[Mondo]

Dziękuję za wyczerpującą odpowiedź
Mam jednak kilka pytań:

Co wiecej, porownujac pierwsze przedzialy w P1 oraz Q mamy pola \(\displaystyle{ L_{1}(f,P1) = f(0) \cdot \frac{1}{2} }\) oraz
\(\displaystyle{ L_{1}(f,Q) = f(0) \cdot \frac{1}{3} }\) Więc jak dla mnie \(\displaystyle{ L_{1}(f,Q) < L_{1}(f,P1) }\), co przeczy definicji.

W takim razie po pierwsze: \(\displaystyle{ L_1(f, P_1) = \inf_{x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]} f(x) \cdot \frac{1}{2}}\), co niekoniecznie jest równe \(\displaystyle{ f(0) \cdot \frac{1}{2}}\). A po drugie: w jaki sposób nierówność \(\displaystyle{ L_1( f, Q ) < L_1( f, P_1 )}\) dotycząca jedynie pierwszych składników odpowiednich sum miałaby przeczyć temu, że między całymi sumami nierówność zachodzi w przeciwną stronę?

Okay, zgadzam się ale wydaje się iż ta nierówność powinna zachodzić dla dowolnego wyrazu?

W sumie \(\displaystyle{ L( f, P_1 )}\) przedziałowi \(\displaystyle{ I}\) odpowiada składnik \(\displaystyle{ \inf_{x \in I} f(x) \cdot |I|}\) (gdzie \(\displaystyle{ |I|}\) oznacza długość przedziału \(\displaystyle{ I}\)), natomiast w sumie \(\displaystyle{ L( f, Q )}\) odpowiada mu podsuma \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n \inf_{x \in I_j} f(x) \cdot |I_j|}\). Widzimy, że \(\displaystyle{ \inf_{x \in I} f(x) \le \inf_{x \in I_j} f(x)}\)

No właśnie trochę tego nie widzę, czy ta nierówność \(\displaystyle{ \inf_{x \in I} f(x) \le \inf_{x \in I_j} f(x)}\) wynika z faktu iż na przedziale \(\displaystyle{ x \in I}\) istnieje większa "szansa" na znalezienie mniejszego wyrazu niż na mniejszym przedziale \(\displaystyle{ X \in {I_j}}\) który to zawiera się w \(\displaystyle{ I}\)?

oraz \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n |I_j| = |I|}\),
a stąd

\(\displaystyle{ \inf_{x \in I} f(x) \cdot |I| \le \sum_{j=1}^n \inf_{x \in I_j} f(x) \cdot |I_j|}\).

Zgubiłeś \(\displaystyle{ \sum_{}^{} }\) po lewej stronie?

[Dasio11]

No właśnie trochę tego nie widzę, czy ta nierówność \(\displaystyle{ \inf_{x \in I} f(x) \le \inf_{x \in I_j} f(x)}\) wynika z faktu iż na przedziale \(\displaystyle{ x \in I}\) istnieje większa "szansa" na znalezienie mniejszego wyrazu niż na mniejszym przedziale \(\displaystyle{ X \in {I_j}}\) który to zawiera się w \(\displaystyle{ I}\)?

Można to tak ująć. A ściśle - liczba \(\displaystyle{ \inf_{x \in I} f(x)}\) oczywiście jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ \{ f(x) : x \in I_j \}}\), więc jest nie większa od jego kresu dolnego.

oraz \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n |I_j| = |I|}\),
a stąd

\(\displaystyle{ \inf_{x \in I} f(x) \cdot |I| \le \sum_{j=1}^n \inf_{x \in I_j} f(x) \cdot |I_j|}\).

Zgubiłeś \(\displaystyle{ \sum_{}^{} }\) po lewej stronie?

Nie, a po czym miałaby być ta suma?

[Mondo]

Można to tak ująć. A ściśle - liczba \(\displaystyle{ \inf_{x \in I} f(x)}\) oczywiście jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ \{ f(x) : x \in I_j \}}\), więc jest nie większa od jego kresu dolnego.

Hmm chyba powinno być "oczywiście jest ograniczeniem donlym zbioru...". Generalnie to dobrze to wytłumaczyłeś i intuicyjnie rozumiem natmiast wybór przedziałów w stylu \(\displaystyle{ I}\) oraz \(\displaystyle{ I_j}\) jest troch "confusing"

Nie, a po czym miałaby być ta suma?

Racja, zgadza się.

[Dasio11]

Hmm chyba powinno być "oczywiście jest ograniczeniem donlym zbioru...".

Tak.

Hmm chyba powinno być "oczywiście jest ograniczeniem donlym zbioru...". Generalnie to dobrze to wytłumaczyłeś i intuicyjnie rozumiem natmiast wybór przedziałów w stylu \(\displaystyle{ I}\) oraz \(\displaystyle{ I_j}\) jest troch "confusing"

Ok, spróbuję wytłumaczyć bardziej poglądowo. Każdy podział \(\displaystyle{ P}\) wyznacza przybliżenie obszaru pod wykresem funkcji \(\displaystyle{ f}\) prostokątami ograniczającymi go od dołu, a \(\displaystyle{ L( f, P )}\) to właśnie suma pól tych prostokątów. Rozdrobnienie podziału \(\displaystyle{ P}\) odpowiada zastąpieniu każdego prostokąta sumą kilku węższych prostokątów, które lepiej przybliżają ów obszar. Skoro zaś przybliżają go od dołu, to suma ich pól będzie większa niż przed rozdrobnieniem.

Ilustracja - po lewej sumy górne, po prawej dolne:

riemann.png (51.51 KiB) Przejrzano 884 razy

Źródło:

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/2228504/riemann-integral-upper-vs-lower-estimate-inf-vs-sup/2228522#2228522