\(\displaystyle{ L(f,P1) \le L(f,Q) \le U(f,Q) \le U(f,P2)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ L(f,P) = \sum_{k=1}^{n} m_k(x_k - x_{k-1})}\) (suma dolna)
\(\displaystyle{ U(f,P) = \sum_{k=1}^{n} M_k(x_k - x_{k-1})}\) (suma górna)
\(\displaystyle{ m_k = inf(f(x) : x \in x_{k-1}, x_k)}\)
\(\displaystyle{ M_k = sup(f(x) : x \in x_{k-1}, x_k)}\)
Powyższą definicję tłumaczyłem na własną rękę z książki angielsko języcznej ale wydaje mi się iż jest to odpowednik tej definicji ->
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Ca%C5%82ka_Riemanna#R%C3%B3wnowa%C5%BCno%C5%9B%C4%87
I teraz w tej definicji którą przepisałem nie rozumiem dlaczego
\(\displaystyle{ L(f,P1) \le L(f,Q)}\)?
Dla przykładu jeśli mamy:
\(\displaystyle{ P1 = {[0, \frac{1}{2} ], [ \frac{1}{2} ,\frac{3}{4} ], [ \frac{3}{4} 1 ]}}\)
i
\(\displaystyle{ P2 = {[0, \frac{1}{3} ], [ \frac{1}{3} ,\frac{2}{3} ], [ \frac{2}{3} 1 ]}}\)
to \(\displaystyle{ Q = P1 \cup P2 = {[0, \frac{1}{3} ],[ \frac{1}{3}, \frac{1}{2} ],[ \frac{1}{2} \frac{2}{3} ],[ \frac{2}{3} \frac{3}{4} ],[ \frac{3}{4} ,1]}}\)
Więc wszystkie elementy P1 zawierają się w Q (w tym jego wartosci najmniejsze, kresy dolne etc). Co wiecej, porownujac pierwsze przedzialy w P1 oraz Q mamy pola \(\displaystyle{ L_{1}(f,P1) = f(0) \cdot \frac{1}{2} }\) oraz
\(\displaystyle{ L_{1}(f,Q) = f(0) \cdot \frac{1}{3} }\) Więc jak dla mnie \(\displaystyle{ L_{1}(f,Q) < L_{1}(f,P1) }\), co przeczy definicji.
Natomiast z linka wikipedi nie rozumiem zdania "Po rozdrobnieniu podziału suma dolna zwiększa się, zaś suma górna zmniejsza się" - jak to możliwe?