Pojawiła się ładna granica:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{a^{2^n}+ \left( \frac{1}{a}\right)^{2^n} }{\left[ a^{2^1}+\left( \frac{1}{a} \right)^{2^1} \right] \left[ a^{2^2}+\left( \frac{1}{a} \right)^{2^2} \right]\left[ a^{2^3}+\left( \frac{1}{a} \right)^{2^3} \right] \cdot ... \cdot \left[ a^{2^{n-1}}+\left( \frac{1}{a} \right)^{2^{n-1}} \right]} }\)
\(\displaystyle{ a>0}\)
Znajdź granicę ciągu
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Znajdź granicę ciągu
Tak ta granica to pochodzi z ciągu:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}^2-2}\)
co daje po sprowadzeniu na wzór jawny:
\(\displaystyle{ P_{n}=a_{n}= \left( \frac{2}{s} \right)^{2^n}+ \left( \frac{s}{2} \right)^{2^n}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ s= \sqrt{a^2-4}+a }\)
gdzie.: \(\displaystyle{ a=P_{0}}\)
No ale Premislav popsułeś całą zabawę tak się nie robi...
To powinno się ujawnić ale w swoim czasie...
Zabawa w chowanego nie polega na tym, że ktoś kto widzi gdzieś się skrył wszystkim o tym krzyczy na głos...
Na wszystko powinien przyjść czas...a tak to lipa...
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}^2-2}\)
co daje po sprowadzeniu na wzór jawny:
\(\displaystyle{ P_{n}=a_{n}= \left( \frac{2}{s} \right)^{2^n}+ \left( \frac{s}{2} \right)^{2^n}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ s= \sqrt{a^2-4}+a }\)
gdzie.: \(\displaystyle{ a=P_{0}}\)
No ale Premislav popsułeś całą zabawę tak się nie robi...
To powinno się ujawnić ale w swoim czasie...
Zabawa w chowanego nie polega na tym, że ktoś kto widzi gdzieś się skrył wszystkim o tym krzyczy na głos...
Na wszystko powinien przyjść czas...a tak to lipa...
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Znajdź granicę ciągu
\(\displaystyle{ \frac{a^{2^n}+a^{-2^n}}{\left(a^2+a^{-2}\right)\left(a^4+a^{-4}\right)\left(a^8+a^{-8}\right)\dots\left(a^{2^{n-1}}+a^{-2^{n-1}}\right)}\\
=\frac{(a^2-a^{-2})\left(a^{2^n}+a^{-2^n}\right)}{(a^2-a^{-2})\left(a^2+a^{-2}\right)\left(a^4+a^{-4}\right)\left(a^8+a^{-8}\right)\dots\left(a^{2^{n-1}}+a^{-2^{n-1}}\right)}\\
=\frac{(a^2-a^{-2})\left(a^{2^n}+a^{-2^n}\right)}{(a^4-a^{-4})\left(a^4+a^{-4}\right)\left(a^8+a^{-8}\right)\dots\left(a^{2^{n-1}}+a^{-2^{n-1}}\right)}\\
=\frac{(a^2-a^{-2})\left(a^{2^n}+a^{-2^n}\right)}{(a^8-a^{-8})\left(a^8+a^{-8}\right)\dots\left(a^{2^{n-1}}+a^{-2^{n-1}}\right)}\\
=\vdots\\
=\frac{(a^2-a^{-2})\left(a^{2^n}+a^{-2^n}\right)}{\left(a^{2^{n}}-a^{-2^{n}}\right)}\\
}\)
i granicę liczy się banalnie
=\frac{(a^2-a^{-2})\left(a^{2^n}+a^{-2^n}\right)}{(a^2-a^{-2})\left(a^2+a^{-2}\right)\left(a^4+a^{-4}\right)\left(a^8+a^{-8}\right)\dots\left(a^{2^{n-1}}+a^{-2^{n-1}}\right)}\\
=\frac{(a^2-a^{-2})\left(a^{2^n}+a^{-2^n}\right)}{(a^4-a^{-4})\left(a^4+a^{-4}\right)\left(a^8+a^{-8}\right)\dots\left(a^{2^{n-1}}+a^{-2^{n-1}}\right)}\\
=\frac{(a^2-a^{-2})\left(a^{2^n}+a^{-2^n}\right)}{(a^8-a^{-8})\left(a^8+a^{-8}\right)\dots\left(a^{2^{n-1}}+a^{-2^{n-1}}\right)}\\
=\vdots\\
=\frac{(a^2-a^{-2})\left(a^{2^n}+a^{-2^n}\right)}{\left(a^{2^{n}}-a^{-2^{n}}\right)}\\
}\)
i granicę liczy się banalnie
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Znajdź granicę ciągu
No tak pięknie , nie zauważyłem tego przejścia, ale do tego doszedłem ciut inaczej a mianowicie:
dół sprowadziłem do (po wymnożeniu):
\(\displaystyle{ \frac{1+a^4+a^8+...+a^{2^{n-1}-4}}{a^{2^{n-2}-2}}}\)
co daje sumę geometrycznego ciągu, ale Twój sposób jest ładniejszy i bardziej dydaktyczny...
dół sprowadziłem do (po wymnożeniu):
\(\displaystyle{ \frac{1+a^4+a^8+...+a^{2^{n-1}-4}}{a^{2^{n-2}-2}}}\)
co daje sumę geometrycznego ciągu, ale Twój sposób jest ładniejszy i bardziej dydaktyczny...