Granica

[xdominika]

Obliczyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{\exp( 2^{-n})-1}{ 3^{-n} }}\)

[Tmkk]

Jest taka znana granica, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1}\). Patrząc na ciągi mamy, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{e^{a_n}-1}{a_n} = 1}\), gdy \(\displaystyle{ a_n \to 0}\). Spróbuj to tu zastosować.

[xdominika]

Jest taka znana granica, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1}\). Patrząc na ciągi mamy, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{e^{a_n}-1}{a_n} = 1}\), gdy \(\displaystyle{ a_n \to 0}\). Spróbuj to tu zastosować.

Wychodzi mi 0, czy tak powinno być?

[Premislav]

Niedobrze. Rozumiem, że rozpisałaś
\(\displaystyle{ \frac{\exp\left(2^{-n}\right)-1}{3^{-n}}=\frac{\exp\left(2^{-n}\right)-1}{2^{-n}}\cdot \frac{2^{-n}}{3^{-n}}}\)
Pierwszy czynnik dąży do \(\displaystyle{ 1}\), tak jak pan Tmkk powiedział.
https://www.youtube.com/watch?v=nBegvY1wrk4

Co z tym drugim czynnikiem? Czy aby na pewno dąży on do zera, czy może wręcz przeciwnie? Pamiętaj, że \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{-a}}=x^{a}}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\).

[xdominika]

Niedobrze. Rozumiem, że rozpisałaś
\(\displaystyle{ \frac{\exp\left(2^{-n}\right)-1}{3^{-n}}=\frac{\exp\left(2^{-n}\right)-1}{2^{-n}}\cdot \frac{2^{-n}}{3^{-n}}}\)
Pierwszy czynnik dąży do \(\displaystyle{ 1}\), tak jak pan Tmkk powiedział.
https://www.youtube.com/watch?v=nBegvY1wrk4

Co z tym drugim czynnikiem? Czy aby na pewno dąży on do zera, czy może wręcz przeciwnie? Pamiętaj, że \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{-a}}=x^{a}}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\).

Czyli \(\displaystyle{ \infty}\)? Bo w takim razie wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{ e^{ 2^{-n} }-1 }{ 2^{-n} }\cdot \left( \frac{3}{2}\right)^{n}}\)

[Premislav]

Zgadza się.