Granica ciągu.

[xdominika]

Obliczyć granicę ciągu \(\displaystyle{ a_{n}= \left( \frac{2+ e^{ \frac{1}{n} } }{3} \right) ^{n} }\).

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \left(\frac{2+ e^{ \frac{1}{n} } }{3} \right) ^{n} = \left(1+\frac{e^{ \frac{1}{n} } -1}{3} \right)^{n}=\left( \left(1+\frac{1}{ \frac{3}{e^{ \frac{1}{n} } -1} } \right)^{ \frac{3}{e^{ \frac{1}{n} } -1} }\right)^{ \frac{e^{ \frac{1}{n} } -1}{ \frac{3}{n} } } }\)

wewnętrzny nawias dąży do \(\displaystyle{ e}\) a wykładnik do \(\displaystyle{ \frac{1}{3} }\) zatem granica to \(\displaystyle{ \sqrt[3]{e} }\)

[xdominika]

\(\displaystyle{ \left(\frac{2+ e^{ \frac{1}{n} } }{3} \right) ^{n} = \left(1+\frac{e^{ \frac{1}{n} } -1}{3} \right)^{n}=\left( \left(1+\frac{1}{ \frac{3}{e^{ \frac{1}{n} } -1} } \right)^{ \frac{3}{e^{ \frac{1}{n} } -1} }\right)^{ \frac{e^{ \frac{1}{n} } -1}{ \frac{3}{n} } } }\)

wewnętrzny nawias dąży do \(\displaystyle{ e}\) a wykładnik do \(\displaystyle{ \frac{1}{3} }\) zatem granica to \(\displaystyle{ \sqrt[3]{e} }\)

A wykładnik nie do zera? Chociaż tam chyba wychodzi symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ 0 \infty }\), tak?

[Janusz Tracz]

Nie. Zachodzi \(\displaystyle{ \frac{ e^{ \frac{1}{n} } -1 }{ \frac{3}{n} } \rightarrow \frac{1}{3} }\) gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)

wszak znana jest granica \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1 }\) zatem na mocy definicji można położyć ciąg \(\displaystyle{ x_n=1/n}\) dostając \(\displaystyle{ \frac{ e^{ \frac{1}{n} } -1 }{ \frac{1}{n} } \rightarrow 1}\). Dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ 3}\) dochodzimy do wniosku, że wynik to \(\displaystyle{ 1/3}\)