Matematyka.pl

Znaleźć najmniejszy wyraz ciągu \(\displaystyle{ a_{n}=\left(1- \frac{1}{\left( n+1\right)\left( 2n-3\right) } \right)^{2013} }\).

Udowodnij, że ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest rosnący. Możesz wykorzystać to, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^{a}, \ a>0}\) ustalone, jest rosnąca (tutaj \(\displaystyle{ a=2013}\)). Dalej zostają już tylko przekształcenia algebraiczne nierówności
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{(n+2)(2n-1)}>1-\frac{1}{(n+1)(2n-3)}}\).
Skoro zaś udowodnisz, że ciąg jest rosnący, to najmniejszym wyrazem okaże się \(\displaystyle{ a_{1}}\).

Zauważ, że:

\(\displaystyle{ 1)}\) ciąg \(\displaystyle{ 1- \frac{1}{(n+1)(2n-3)} }\) jest rosnący na \(\displaystyle{ n\in\NN \setminus \left\{ 1\right\} }\)

\(\displaystyle{ 2)}\) podniesienie do potęgi \(\displaystyle{ 2013}\) nie zmiana monotoniczności zatem \(\displaystyle{ a_2}\) jest najmniejszy.

A rzeczywiście, mój błąd, \(\displaystyle{ a_{2}}\).

Janusz Tracz pisze: ↑4 gru 2019, o 14:09 Zauważ, że:

\(\displaystyle{ 1)}\) ciąg \(\displaystyle{ 1- \frac{1}{(n+1)(2n-3)} }\) jest rosnący na \(\displaystyle{ n\in\NN \setminus \left\{ 1\right\} }\)

\(\displaystyle{ 2)}\) podniesienie do potęgi \(\displaystyle{ 2013}\) nie zmiana monotoniczności zatem \(\displaystyle{ a_2}\) jest najmniejszy.

Dlaczego dziedzina jest bez 1?

\(\displaystyle{ 1}\) należy do dziedziny ale dla jedynki liczba jaką będziemy podnosić do \(\displaystyle{ 2013}\) jest większa do \(\displaystyle{ 1}\) a dla reszty \(\displaystyle{ n}\) liczby które będą podnoszone do \(\displaystyle{ 2013}\) są mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\) więc od razu widać, że \(\displaystyle{ a_1}\) nie będzie najmniejszy.