Matematyka.pl

Witam. Ostatnie złapałem mały mętlik. Wyjaśnię go na prostym przykładzie:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{10\cdot n}{n^2} \cdot \frac{5n}{n^2} \cdot ... \cdot \frac{5n}{n^2}\right) }\)

Z wcześniejszych przekształceń wiadomo, że liczba wyrazów \(\displaystyle{ \frac{5n}{n^2} }\) wynosi \(\displaystyle{ n}\).

Czy wówczas można zapisać: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{10\cdot n}{n^2} \cdot (1\cdot 1\cdot ...\cdot 1)\right) = \lim_{ n\to \infty } \frac{10\cdot n}{n^2} = 0}\)

Z jednej strony iloczyn jedynek daje nam 1, ale z drugiej jakby rozpatrzeć, że tych "1" jest "n", to granica wyjdzie zupełnie inna. Osobiście intuicja mi mówi, że pierwsza opcja jest absolutnie zła, jednak proszę o wskazanie właściwej i przede wszystkim - uzasadnienie, dlaczego jest zła.

Pozdrawiam,
Damian

MlodyMatematykAmator pisze: ↑28 lis 2019, o 17:51Czy wówczas można zapisać: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{10\cdot n}{n^2} \cdot (1\cdot 1\cdot ...\cdot 1)\right) = \lim_{ n\to \infty } \frac{10\cdot n}{n^2} = 0}\)

Nigdy w życiu. Nie wolno przechodzić do granicy "po kawałku".

JK

No to jeszcze szybciutkie pytanie. Z arytmetycznych własności granic, przy odpowiednich założeniach wynika, że:

Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} = a}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } b_{n} = b}\)

to wówczas

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} b_{n} = ab}\)

Czy odnosi się to tylko do dwóch wyrazów, czy można by dorzucić do iloczynu trzeci ciąg \(\displaystyle{ c_{n} }\) i tak w nieskończoność?

MlodyMatematykAmator pisze: ↑28 lis 2019, o 18:11Czy odnosi się to tylko do dwóch wyrazów, czy można by dorzucić do iloczynu trzeci ciąg \(\displaystyle{ c_{n} }\)

Tak.

MlodyMatematykAmator pisze: ↑28 lis 2019, o 18:11 i tak w nieskończoność?

Nie. Możesz powtórzyć to tylko skończenie wiele razy.

Mam nadzieję, że zauważasz, że to nie jest sytuacja z Twojego pierwszego posta, w którym liczba składników w iloczynie też zależy od \(\displaystyle{ n}\).

JK

A wiadomo ile wyrazów w tym iloczynie jest?

I co to za dziwne przejście \(5n/n^2 \to 1\)????