Granica 'po kawałku'

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
MlodyMatematykAmator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 23 mar 2019, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy

Granica 'po kawałku'

Post autor: MlodyMatematykAmator » 28 lis 2019, o 17:51

Witam. Ostatnie złapałem mały mętlik. Wyjaśnię go na prostym przykładzie:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{10\cdot n}{n^2} \cdot \frac{5n}{n^2} \cdot ... \cdot \frac{5n}{n^2}\right) }\)

Z wcześniejszych przekształceń wiadomo, że liczba wyrazów \(\displaystyle{ \frac{5n}{n^2} }\) wynosi \(\displaystyle{ n}\).

Czy wówczas można zapisać: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{10\cdot n}{n^2} \cdot (1\cdot 1\cdot ...\cdot 1)\right) = \lim_{ n\to \infty } \frac{10\cdot n}{n^2} = 0}\)

Z jednej strony iloczyn jedynek daje nam 1, ale z drugiej jakby rozpatrzeć, że tych "1" jest "n", to granica wyjdzie zupełnie inna. Osobiście intuicja mi mówi, że pierwsza opcja jest absolutnie zła, jednak proszę o wskazanie właściwej i przede wszystkim - uzasadnienie, dlaczego jest zła.

Pozdrawiam,
Damian
Ostatnio zmieniony 28 lis 2019, o 18:04 przez MlodyMatematykAmator, łącznie zmieniany 3 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26139
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4368 razy

Re: Granica w stylu: 1*...*1

Post autor: Jan Kraszewski » 28 lis 2019, o 18:02

MlodyMatematykAmator pisze:
28 lis 2019, o 17:51
Czy wówczas można zapisać: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{10\cdot n}{n^2} \cdot (1\cdot 1\cdot ...\cdot 1)\right) = \lim_{ n\to \infty } \frac{10\cdot n}{n^2} = 0}\)
Nigdy w życiu. Nie wolno przechodzić do granicy "po kawałku".

JK

MlodyMatematykAmator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 23 mar 2019, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy

Re: Granica 'po kawałku'

Post autor: MlodyMatematykAmator » 28 lis 2019, o 18:11

No to jeszcze szybciutkie pytanie. Z arytmetycznych własności granic, przy odpowiednich założeniach wynika, że:

Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} = a}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } b_{n} = b}\)

to wówczas

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} b_{n} = ab}\)

Czy odnosi się to tylko do dwóch wyrazów, czy można by dorzucić do iloczynu trzeci ciąg \(\displaystyle{ c_{n} }\) i tak w nieskończoność?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26139
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4368 razy

Re: Granica 'po kawałku'

Post autor: Jan Kraszewski » 28 lis 2019, o 18:19

MlodyMatematykAmator pisze:
28 lis 2019, o 18:11
Czy odnosi się to tylko do dwóch wyrazów, czy można by dorzucić do iloczynu trzeci ciąg \(\displaystyle{ c_{n} }\)
Tak.
MlodyMatematykAmator pisze:
28 lis 2019, o 18:11
i tak w nieskończoność?
Nie. Możesz powtórzyć to tylko skończenie wiele razy.

Mam nadzieję, że zauważasz, że to nie jest sytuacja z Twojego pierwszego posta, w którym liczba składników w iloczynie też zależy od \(\displaystyle{ n}\).

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17648
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2978 razy

Re: Granica 'po kawałku'

Post autor: a4karo » 28 lis 2019, o 19:33

A wiadomo ile wyrazów w tym iloczynie jest?

I co to za dziwne przejście \(5n/n^2 \to 1\)????

ODPOWIEDZ