Matematyka.pl

Witajcie,
Mam dość prozaiczne pytanie. Otóż, jeżeli wg definicji ciąg \(\displaystyle{ a_{n} }\) jest zbierzny to:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} =g \Leftrightarrow \forall_{ \epsilon>0} \exists _{ n_{0} } \forall_{n> n_{0} } \left| a_{n}-g \right|<\epsilon }\),
To gdy mamy czy gdy mamy granicę np. \(\displaystyle{ g=5}\) lub \(\displaystyle{ g=-4}\), to czy zapis przy kwantyfikatorach się zmienia?
Czy dla \(\displaystyle{ g=5}\) będzie:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} =5 \Leftrightarrow \forall_{ \epsilon>0} \exists _{ n_{0} } \forall_{n> n_{0} } \left| a_{n}-g \right|<\epsilon }\)
a dla \(\displaystyle{ g=-4}\):
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} =-4 \Leftrightarrow \forall_{ \epsilon>0} \exists _{ n_{0} } \forall_{n< n_{0} } \left| a_{n}-g \right|<\epsilon }\)

Jeśli nie to proszę o poprawienie mnie

czy zapis przy kwantyfikatorach się zmienia?

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} =-4 \Leftrightarrow \forall_{ \epsilon>0} \exists _{ n_{0} } \forall_{n \red{<} n_{0} } \left| a_{n}-g \right|<\epsilon}\)

Nie zapis przy kwantyfikatorach się nie zmiana (o ile mówisz o zmianie zaznaczonej na czerwono w stosunku do oryginału). By zrozumieć dlaczego zapis się nie zmiana można powołać się generalnie na dwa spostrzeżenia:

\(\displaystyle{ 1)}\) Zapis się nie zmiana do definicja granicy to \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} =g \Leftrightarrow \forall_{ \epsilon>0} \exists _{ n_{0} } \forall_{n> n_{0} } \left| a_{n}-g \right|<\epsilon }\) (ni mniej ni więcej). Ta lakoniczna odpowiedź jest z matematycznego punktu najbardziej formalna. Po prostu mówimy, że definicja jest taka a nie inna i się jej trzymamy. Uzasadnienie to z pewnością jednak nie będzie satysfakcjonujące gdy nie zna się interpretacji wszystkich znaczków stojących przy kwantyfikatorach dlatego uzasadnienie heurystyczne dlaczego nic się nie zmiana jest takie:

\(\displaystyle{ 2)}\) Ta część \(\displaystyle{ \forall (n> n_{0} )}\) definicji mówi, że dla uprzednio wybranego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) i istniejącego już \(\displaystyle{ n_0}\) zależnego od \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) pokonuje "próg" \(\displaystyle{ n_0}\) i "jest od niego większe już na zawsze" to coś się dzieje (co?) odległość pomiędzy wartościami ciągu a granicą jest mniejsza od \(\displaystyle{ \epsilon}\) (czyli mała bo o \(\displaystyle{ \epsilon}\) można myśleć jak o małej liczbie).

PS Warto się zastanowić co oznaczała by taka zmiana znaku nierówności. Wtedy też widać dlaczego nie warto tego robić. Zmieniając znak nierówności powiedział byś słowami matematyki, że pierwsze "kilka" wyrazów ciągu jest bardzo blisko jakiegoś \(\displaystyle{ g}\) dowolnie blisko czyli ciąg jest stały do pewnego miejsca (jakiego?) \(\displaystyle{ n_0}\). A co potem? Potem nic wystarczy, że będzie stały tylko kawałek na początku a potem jest dowolny czyli może granicy nawet nie mieć a spełnić tak zadaną definicję.

Zdenerwowany Student pisze: ↑28 lis 2019, o 03:05 To gdy mamy czy gdy mamy granicę np. \(\displaystyle{ g=5}\) lub \(\displaystyle{ g=-4}\), to czy zapis przy kwantyfikatorach się zmienia?
Czy dla \(\displaystyle{ g=5}\) będzie:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} =5 \Leftrightarrow \forall_{ \epsilon>0} \exists _{ n_{0} } \forall_{n> n_{0} } \left| a_{n}-g \right|<\epsilon }\)

Zmienia się ale nie tak jak piszesz
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} =5 \Leftrightarrow \forall_{ \epsilon>0} \exists _{ n_{0} } \forall_{n> n_{0} } \left| a_{n}-5 \right|<\epsilon }\)


I nie pisz już więcej zbieżny przez rz