Ciąg zbieżny do liczby dodatniej lub ujemnej a kwantyfikatory. Definicja granicy ciągu.

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Zdenerwowany Student
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 22 paź 2019, o 17:47
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Ciąg zbieżny do liczby dodatniej lub ujemnej a kwantyfikatory. Definicja granicy ciągu.

Post autor: Zdenerwowany Student » 28 lis 2019, o 03:05

Witajcie,
Mam dość prozaiczne pytanie. Otóż, jeżeli wg definicji ciąg \(\displaystyle{ a_{n} }\) jest zbierzny to:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} =g \Leftrightarrow \forall_{ \epsilon>0} \exists _{ n_{0} } \forall_{n> n_{0} } \left| a_{n}-g \right|<\epsilon }\),
To gdy mamy czy gdy mamy granicę np. \(\displaystyle{ g=5}\) lub \(\displaystyle{ g=-4}\), to czy zapis przy kwantyfikatorach się zmienia?
Czy dla \(\displaystyle{ g=5}\) będzie:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} =5 \Leftrightarrow \forall_{ \epsilon>0} \exists _{ n_{0} } \forall_{n> n_{0} } \left| a_{n}-g \right|<\epsilon }\)
a dla \(\displaystyle{ g=-4}\):
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} =-4 \Leftrightarrow \forall_{ \epsilon>0} \exists _{ n_{0} } \forall_{n< n_{0} } \left| a_{n}-g \right|<\epsilon }\)

Jeśli nie to proszę o poprawienie mnie :)
Ostatnio zmieniony 13 sty 2020, o 18:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Błąd ortograficzny w tytule.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2625
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 69 razy
Pomógł: 825 razy

Re: Ciąg zbierzny do liczby dodatniej lub ujemnej a kwantyfikatory. Definicja granicy ciągu.

Post autor: Janusz Tracz » 28 lis 2019, o 07:56

czy zapis przy kwantyfikatorach się zmienia?

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} =-4 \Leftrightarrow \forall_{ \epsilon>0} \exists _{ n_{0} } \forall_{n \red{<} n_{0} } \left| a_{n}-g \right|<\epsilon}\)
Nie zapis przy kwantyfikatorach się nie zmiana (o ile mówisz o zmianie zaznaczonej na czerwono w stosunku do oryginału). By zrozumieć dlaczego zapis się nie zmiana można powołać się generalnie na dwa spostrzeżenia:

\(\displaystyle{ 1)}\) Zapis się nie zmiana do definicja granicy to \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} =g \Leftrightarrow \forall_{ \epsilon>0} \exists _{ n_{0} } \forall_{n> n_{0} } \left| a_{n}-g \right|<\epsilon }\) (ni mniej ni więcej). Ta lakoniczna odpowiedź jest z matematycznego punktu najbardziej formalna. Po prostu mówimy, że definicja jest taka a nie inna i się jej trzymamy. Uzasadnienie to z pewnością jednak nie będzie satysfakcjonujące gdy nie zna się interpretacji wszystkich znaczków stojących przy kwantyfikatorach dlatego uzasadnienie heurystyczne dlaczego nic się nie zmiana jest takie:

\(\displaystyle{ 2)}\) Ta część \(\displaystyle{ \forall (n> n_{0} )}\) definicji mówi, że dla uprzednio wybranego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) i istniejącego już \(\displaystyle{ n_0}\) zależnego od \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) pokonuje "próg" \(\displaystyle{ n_0}\) i "jest od niego większe już na zawsze" to coś się dzieje (co?) odległość pomiędzy wartościami ciągu a granicą jest mniejsza od \(\displaystyle{ \epsilon}\) (czyli mała bo o \(\displaystyle{ \epsilon}\) można myśleć jak o małej liczbie).

PS Warto się zastanowić co oznaczała by taka zmiana znaku nierówności. Wtedy też widać dlaczego nie warto tego robić. Zmieniając znak nierówności powiedział byś słowami matematyki, że pierwsze "kilka" wyrazów ciągu jest bardzo blisko jakiegoś \(\displaystyle{ g}\) dowolnie blisko czyli ciąg jest stały do pewnego miejsca (jakiego?) \(\displaystyle{ n_0}\). A co potem? Potem nic wystarczy, że będzie stały tylko kawałek na początku a potem jest dowolny czyli może granicy nawet nie mieć a spełnić tak zadaną definicję.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17670
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2980 razy

Re: Ciąg zbierzny do liczby dodatniej lub ujemnej a kwantyfikatory. Definicja granicy ciągu.

Post autor: a4karo » 28 lis 2019, o 08:29

Zdenerwowany Student pisze:
28 lis 2019, o 03:05
To gdy mamy czy gdy mamy granicę np. \(\displaystyle{ g=5}\) lub \(\displaystyle{ g=-4}\), to czy zapis przy kwantyfikatorach się zmienia?
Czy dla \(\displaystyle{ g=5}\) będzie:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} =5 \Leftrightarrow \forall_{ \epsilon>0} \exists _{ n_{0} } \forall_{n> n_{0} } \left| a_{n}-g \right|<\epsilon }\)

Zmienia się ale nie tak jak piszesz
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} =5 \Leftrightarrow \forall_{ \epsilon>0} \exists _{ n_{0} } \forall_{n> n_{0} } \left| a_{n}-5 \right|<\epsilon }\)


I nie pisz już więcej zbieżny przez rz

ODPOWIEDZ