Witam,
Mam taką rozkminę dot. granic typu \(\displaystyle{ a_n^{b_n}}\)
Np. ciąg: \(\displaystyle{ a_n= \sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}}\)
Można zapisać tak \(\displaystyle{ a_n=(2^n+3^n+4^n)^{\frac{1}{n}}=4\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1\right)^{\frac{1}{n}}}\)
Nie jest to oczywiście wyrażenie nieoznaczone, ciąg będący podstawą potęgi jest zawsze dodatni więc można go zapisać tak:
\(\displaystyle{ a_n=4e^{\frac{1}{n}\ln\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1\right)}}\)
Stąd już korzystając z arytmetyki granic dostajemy, że wykładnyk zmierza do zera, a więc z ciągłości funkcji wykładniczej dostajemy że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=4e^0=4}\)
Moje pytanie dlaczego więc nigdzie w książkach nie pojawia się taki sposób rozwiązania, tylko zawsze narzucane jest tw o 3 ciągach ?
Czy to chodzi o to, że omawiając ciągi nie przerabia się jeszcze tematu ciągłości funkcji ?
Prawidłowe rozwiązanie - granica ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Re: Prawidłowe rozwiązanie - granica ciągu
Jak przemyciłem
Np przecież wyrażenie pod logarytmem dąży do 1, a więc jego logarytm do zera na koniec więc wychodzi wyrażenie \(\displaystyle{ \left[\frac{0}{\infty}\right]}\) które nieoznaczone nie jest. Dalej więc nie widzę w tym błędu.
Np przecież wyrażenie pod logarytmem dąży do 1, a więc jego logarytm do zera na koniec więc wychodzi wyrażenie \(\displaystyle{ \left[\frac{0}{\infty}\right]}\) które nieoznaczone nie jest. Dalej więc nie widzę w tym błędu.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Prawidłowe rozwiązanie - granica ciągu
Tak.Kordyty" pisze:Czy to chodzi o to, że omawiając ciągi nie przerabia się jeszcze tematu ciągłości funkcji ?
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Re: Prawidłowe rozwiązanie - granica ciągu
No tak znalazłem też potwierdzenie tego faktu w rozwiązaniu pewnego zbioru, gdzie korzystając z ciągłości wynik byłby natychmiastowy ale w rozwiązaniu po kilku przekształceniach sprowadzało się całość do szacowania innymi ciągami.
Dobra czyli moja wątpliwość została wyjaśniona. Dzięki.
Dobra czyli moja wątpliwość została wyjaśniona. Dzięki.