Prawidłowe rozwiązanie - granica ciągu

[Kordyt]

Witam,

Mam taką rozkminę dot. granic typu \(\displaystyle{ a_n^{b_n}}\)

Np. ciąg: \(\displaystyle{ a_n= \sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}}\)

Można zapisać tak \(\displaystyle{ a_n=(2^n+3^n+4^n)^{\frac{1}{n}}=4\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1\right)^{\frac{1}{n}}}\)

Nie jest to oczywiście wyrażenie nieoznaczone, ciąg będący podstawą potęgi jest zawsze dodatni więc można go zapisać tak:

\(\displaystyle{ a_n=4e^{\frac{1}{n}\ln\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1\right)}}\)

Stąd już korzystając z arytmetyki granic dostajemy, że wykładnyk zmierza do zera, a więc z ciągłości funkcji wykładniczej dostajemy że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=4e^0=4}\)

Moje pytanie dlaczego więc nigdzie w książkach nie pojawia się taki sposób rozwiązania, tylko zawsze narzucane jest tw o 3 ciągach ?
Czy to chodzi o to, że omawiając ciągi nie przerabia się jeszcze tematu ciągłości funkcji ?

[a4karo]

Pewnie stąd, że w twoim dowodzie przemycileś fakt, że wykładnik dąży do zera.

[Kordyt]

Jak przemyciłem

Np przecież wyrażenie pod logarytmem dąży do 1, a więc jego logarytm do zera na koniec więc wychodzi wyrażenie \(\displaystyle{ \left[\frac{0}{\infty}\right]}\) które nieoznaczone nie jest. Dalej więc nie widzę w tym błędu.

[Premislav]

Czy to chodzi o to, że omawiając ciągi nie przerabia się jeszcze tematu ciągłości funkcji ?

Tak.

[Kordyt]

No tak znalazłem też potwierdzenie tego faktu w rozwiązaniu pewnego zbioru, gdzie korzystając z ciągłości wynik byłby natychmiastowy ale w rozwiązaniu po kilku przekształceniach sprowadzało się całość do szacowania innymi ciągami.

Dobra czyli moja wątpliwość została wyjaśniona. Dzięki.