Wyznaczenie wzoru ogólnego ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5531
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1211 razy

Wyznaczenie wzoru ogólnego ciągu

Post autor: janusz47 » 21 lis 2019, o 21:03

Proszę wyznaczyć wzór ogólny ciągu \(\displaystyle{ (a_{n}) }\) zadanego rekurencyjnie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_{n} = n \\ a_{1} = 1, \ \ a_{2} = 2 \end{cases} \ \ (1) }\)

Zadanie rozwiążemy metodą przewidywania dla równania różnicowego drugiego rzędu o stałych współczynnikach - niejednorodnego.

Najpierw znajdziemy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

\(\displaystyle{ a_{n+2} -2a_{n+1} +a_{n} = 0 }\)

Równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ \lambda^2 - 2\lambda + 1 = ( \lambda -1)^2 = 0 }\)

Równanie charakterystyczne ma pierwiastek (podwójny) \(\displaystyle{ \lambda_{1,2} = 1. }\)

Rozwiązanie ogólne równania równania jednorodnego

\(\displaystyle{ y_{o}(n) = C_{1} 1^{n} + C_{2}n \cdot 1^{n} = C_{1} + C_{2}\cdot n. }\)

Rozwiązanie szczególne \(\displaystyle{ y_{s} }\) równania niejednorodnego znajdziemy metodą przewidywania, biorąc pod uwagę postać ciągu występującego po prawej stronie równania \(\displaystyle{ (1) }\) i to, że równanie charakterystyczne posiada pierwiastek podwójny.

\(\displaystyle{ y_{s}(n) = an^2 +bn \ \ (2) }\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ (2) }\) do \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ a(n+2)^2 +b(n+2) - 2a(n+1)^2 - 2a(n+1) + an^2 + bn = n }\)

\(\displaystyle{ an^2 + 4an + 4a + bn +2b - 2an^2 - 4an -2a - 2an - 2a + an^2 + bn = n }\)

\(\displaystyle{ -2an + 2bn + 2b = n }\)

\(\displaystyle{ (-2a + 2b )n + 2b = n. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2a +2b = 1 \\ b = 0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = -\frac{1}{2} \\ b = 0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ y_{s}(n) = -\frac{1}{2}\cdot n^2. }\)

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego

\(\displaystyle{ y = y_{o} + y_{s} = C_{1} + C_{2} n - \frac{1}{2}n^2 \ \ (3) }\)

Stałe \(\displaystyle{ C_{1}, \ \ C_{2} }\) wyznaczamy, uwzględniając warunki początkowe:

\(\displaystyle{ a_{1} = 1, \ \ a_{2} = 2 }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 = C_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} \\ 2 = C_{1} + 2C_{2} - 2 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} C_{1} = -1 \\ C_{2} = \frac{5}{2} \end{cases} (4) }\)

Na podstawie \(\displaystyle{ (4), \ \ (3) }\) stwierdzamy, że wzór ogólny ciągu \(\displaystyle{ (a_{n}) }\) jest postaci:

\(\displaystyle{ a_{n}= -1 + \frac{5}{2} n - \frac{1}{2} n^2.}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17540
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2957 razy

Re: Wyznaczenie wzoru ogólnego ciągu

Post autor: a4karo » 22 lis 2019, o 00:16

janusz47 pisze:
21 lis 2019, o 21:03
Proszę wyznaczyć wzór ogólny ciągu \(\displaystyle{ (a_{n}) }\) zadanego rekurencyjnie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_{n} = n \\ a_{1} = 1, \ \ a_{2} = 2 \end{cases} \ \ (1) }\)

Jeżeli \(a_{n+2}=n\) to po co liczyć dalej? Inna sprawa, że ten ciąg nie spełnia warunków początkowych

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5531
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1211 razy

Re: Wyznaczenie wzoru ogólnego ciągu

Post autor: janusz47 » 22 lis 2019, o 10:18

\(\displaystyle{ a_{n} = -1 + \frac{5}{2}n - \frac{1}{2}n^2 }\)

\(\displaystyle{ a_{1} = -1 + \frac{5}{2}\cdot 1 - \frac{1}{2}\cdot 1^2 = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} =1 }\)

\(\displaystyle{ a_{2} = -1 + \frac{5}{2}\cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 2^2 = -1 + \frac{10}{2} - \frac{4}{2} = -1 + 5 -2 = -3 + 5 = 2.}\)

Awatar użytkownika
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1583
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 384 razy

Re: Wyznaczenie wzoru ogólnego ciągu

Post autor: pesel » 23 lis 2019, o 19:07

Jaki jest trzeci wyraz ciągu?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25982
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Wyznaczenie wzoru ogólnego ciągu

Post autor: Jan Kraszewski » 23 lis 2019, o 19:12

janusz47 pisze:
21 lis 2019, o 21:03
Proszę wyznaczyć wzór ogólny ciągu \(\displaystyle{ (a_{n}) }\) zadanego rekurencyjnie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_{n} = n \\ a_{1} = 1, \ \ a_{2} = 2 \end{cases} \ \ (1) }\)
To jest błędnie przepisane zadanie, które trafiło wcześniej do Kosza - typowy "błąd shiftu". Miało być

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_{n} \,\red{+}\, n \\ a_{1} = 1, \ \ a_{2} = 2 \end{cases} \ \ (1) }\)

JK

ODPOWIEDZ