Wyznaczenie wzoru ogólnego ciągu

[janusz47]

Proszę wyznaczyć wzór ogólny ciągu \(\displaystyle{ (a_{n}) }\) zadanego rekurencyjnie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_{n} = n \\ a_{1} = 1, \ \ a_{2} = 2 \end{cases} \ \ (1) }\)

Zadanie rozwiążemy metodą przewidywania dla równania różnicowego drugiego rzędu o stałych współczynnikach - niejednorodnego.

Najpierw znajdziemy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

\(\displaystyle{ a_{n+2} -2a_{n+1} +a_{n} = 0 }\)

Równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ \lambda^2 - 2\lambda + 1 = ( \lambda -1)^2 = 0 }\)

Równanie charakterystyczne ma pierwiastek (podwójny) \(\displaystyle{ \lambda_{1,2} = 1. }\)

Rozwiązanie ogólne równania równania jednorodnego

\(\displaystyle{ y_{o}(n) = C_{1} 1^{n} + C_{2}n \cdot 1^{n} = C_{1} + C_{2}\cdot n. }\)

Rozwiązanie szczególne \(\displaystyle{ y_{s} }\) równania niejednorodnego znajdziemy metodą przewidywania, biorąc pod uwagę postać ciągu występującego po prawej stronie równania \(\displaystyle{ (1) }\) i to, że równanie charakterystyczne posiada pierwiastek podwójny.

\(\displaystyle{ y_{s}(n) = an^2 +bn \ \ (2) }\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ (2) }\) do \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ a(n+2)^2 +b(n+2) - 2a(n+1)^2 - 2a(n+1) + an^2 + bn = n }\)

\(\displaystyle{ an^2 + 4an + 4a + bn +2b - 2an^2 - 4an -2a - 2an - 2a + an^2 + bn = n }\)

\(\displaystyle{ -2an + 2bn + 2b = n }\)

\(\displaystyle{ (-2a + 2b )n + 2b = n. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2a +2b = 1 \\ b = 0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = -\frac{1}{2} \\ b = 0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ y_{s}(n) = -\frac{1}{2}\cdot n^2. }\)

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego

\(\displaystyle{ y = y_{o} + y_{s} = C_{1} + C_{2} n - \frac{1}{2}n^2 \ \ (3) }\)

Stałe \(\displaystyle{ C_{1}, \ \ C_{2} }\) wyznaczamy, uwzględniając warunki początkowe:

\(\displaystyle{ a_{1} = 1, \ \ a_{2} = 2 }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 = C_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} \\ 2 = C_{1} + 2C_{2} - 2 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} C_{1} = -1 \\ C_{2} = \frac{5}{2} \end{cases} (4) }\)

Na podstawie \(\displaystyle{ (4), \ \ (3) }\) stwierdzamy, że wzór ogólny ciągu \(\displaystyle{ (a_{n}) }\) jest postaci:

\(\displaystyle{ a_{n}= -1 + \frac{5}{2} n - \frac{1}{2} n^2.}\)

[a4karo]

Proszę wyznaczyć wzór ogólny ciągu \(\displaystyle{ (a_{n}) }\) zadanego rekurencyjnie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_{n} = n \\ a_{1} = 1, \ \ a_{2} = 2 \end{cases} \ \ (1) }\)

Jeżeli \(a_{n+2}=n\) to po co liczyć dalej? Inna sprawa, że ten ciąg nie spełnia warunków początkowych

[janusz47]

\(\displaystyle{ a_{n} = -1 + \frac{5}{2}n - \frac{1}{2}n^2 }\)

\(\displaystyle{ a_{1} = -1 + \frac{5}{2}\cdot 1 - \frac{1}{2}\cdot 1^2 = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} =1 }\)

\(\displaystyle{ a_{2} = -1 + \frac{5}{2}\cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 2^2 = -1 + \frac{10}{2} - \frac{4}{2} = -1 + 5 -2 = -3 + 5 = 2.}\)

[pesel]

Jaki jest trzeci wyraz ciągu?

[Jan Kraszewski]

Proszę wyznaczyć wzór ogólny ciągu \(\displaystyle{ (a_{n}) }\) zadanego rekurencyjnie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_{n} = n \\ a_{1} = 1, \ \ a_{2} = 2 \end{cases} \ \ (1) }\)

To jest błędnie przepisane zadanie, które trafiło wcześniej do Kosza - typowy "błąd shiftu". Miało być

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_{n} \,\red{+}\, n \\ a_{1} = 1, \ \ a_{2} = 2 \end{cases} \ \ (1) }\)

JK