Cześć,
mam problem z poniższymi zadaniami. Czy ktoś mógłby je rozwiązać, abym mogła załapać schemat?
a) \(\displaystyle{ \lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n] {\left( \dfrac {1}{5}\right) ^{n}+n^{2}+3n}}\)
b) \(\displaystyle{ \lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n] {5^{n}+n^{2}+3n}}\)
c) \(\displaystyle{ \lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n] {2^{n}n^{13}+3^{n}n+1}}\)
Oblicz granice ciągów - tw. o 3 ciągach
-
lu90ein
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 11 lis 2019, o 20:58
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 28
- Podziękował: 1 raz
Oblicz granice ciągów - tw. o 3 ciągach
Ostatnio zmieniony 11 lis 2019, o 21:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
-
MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Oblicz granice ciągów - tw. o 3 ciągach
a)
Niech \(\displaystyle{ a_n=\sqrt[n]{\left(\frac{1}{5}\right)^n+n^2+3n}}\).
Zauważmy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) mamy:
\(\displaystyle{ 3n \leq \left(\frac{1}{5}\right)^n+n^2+3n \leq n^2+n^2+3n^2=5n^2}\),
co dzięki monotoniczności pierwiastka równoważne jest nierówności
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3n} \leq \sqrt[n]{\left(\frac{1}{5}\right)^n+n^2+3n} \leq \sqrt[n]{5n^2}}\).
Łatwo otrzymamy z twierdzenia o trzech ciągach, że granica ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\). Kolejne przykłady spróbuj zrobić samemu.
Niech \(\displaystyle{ a_n=\sqrt[n]{\left(\frac{1}{5}\right)^n+n^2+3n}}\).
Zauważmy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) mamy:
\(\displaystyle{ 3n \leq \left(\frac{1}{5}\right)^n+n^2+3n \leq n^2+n^2+3n^2=5n^2}\),
co dzięki monotoniczności pierwiastka równoważne jest nierówności
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3n} \leq \sqrt[n]{\left(\frac{1}{5}\right)^n+n^2+3n} \leq \sqrt[n]{5n^2}}\).
Łatwo otrzymamy z twierdzenia o trzech ciągach, że granica ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\). Kolejne przykłady spróbuj zrobić samemu.