znajdź granicę

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
stuart clark
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 21 sty 2011, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3 razy

znajdź granicę

Post autor: stuart clark »

\(\displaystyle{ \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{k=1}\bigg(\frac{k}{n^2}\bigg)^{\frac{k}{n^2}+1}}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: znajdź granicę

Post autor: Janusz Tracz »

Lemat: dla \(\displaystyle{ x<1/e}\) funkcja \(\displaystyle{ x^x}\) maleje.

Z lematu wynika, że dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\) i dowolnego \(\displaystyle{ k\in \left\{ 1,...,n\right\} }\) mamy nierówność:

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{n^2}} \le \left( \frac{k}{n^2}\right)^{\frac{k}{n^2}} \le \left( \frac{n}{n^2}\right)^{\frac{n}{n^2}} }\)
Zatem dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\) mamy:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{n^2}} \frac{k}{n^2} \le \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n^2}\right)^{\frac{k}{n^2}} \frac{k}{n^2} \le \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{n}{n^2}\right)^{\frac{n}{n^2}} \frac{k}{n^2} }\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{n^2}} \cdot \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k \le \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n^2}\right)^{\frac{k}{n^2}+1} \le \left( \frac{n}{n^2}\right)^{\frac{n}{n^2}} \cdot \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k }\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{n^2}} \cdot \frac{n(n+1)}{n^2} \cdot \frac{1}{2} \le \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n^2}\right)^{\frac{k}{n^2}+1} \le \left( \frac{n}{n^2}\right)^{\frac{n}{n^2}} \cdot \frac{n(n+1)}{n^2} \cdot \frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \:\xleftarrow{n\to\infty}\:\frac{1}{ \sqrt[n^2]{n^2} } \cdot \frac{n(n+1)}{n^2} \cdot \frac{1}{2} \le \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n^2}\right)^{\frac{k}{n^2}+1} \le \frac{1}{ \sqrt[n]{n} } \cdot \frac{n(n+1)}{n^2} \cdot \frac{1}{2} \:\xrightarrow[]{n\to\infty}\: \frac{1}{2} }\)

Zatem na mocy trzech ciągów granica to \(\displaystyle{ 1/2}\).
ODPOWIEDZ