znajdź granicę
-
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 21 sty 2011, o 12:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 3 razy
znajdź granicę
\(\displaystyle{ \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{k=1}\bigg(\frac{k}{n^2}\bigg)^{\frac{k}{n^2}+1}}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: znajdź granicę
Lemat: dla \(\displaystyle{ x<1/e}\) funkcja \(\displaystyle{ x^x}\) maleje.
Z lematu wynika, że dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\) i dowolnego \(\displaystyle{ k\in \left\{ 1,...,n\right\} }\) mamy nierówność:
Zatem na mocy trzech ciągów granica to \(\displaystyle{ 1/2}\).
Z lematu wynika, że dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\) i dowolnego \(\displaystyle{ k\in \left\{ 1,...,n\right\} }\) mamy nierówność:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{n^2}} \le \left( \frac{k}{n^2}\right)^{\frac{k}{n^2}} \le \left( \frac{n}{n^2}\right)^{\frac{n}{n^2}} }\)
Zatem dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\) mamy: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{n^2}} \frac{k}{n^2} \le \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n^2}\right)^{\frac{k}{n^2}} \frac{k}{n^2} \le \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{n}{n^2}\right)^{\frac{n}{n^2}} \frac{k}{n^2} }\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{n^2}} \cdot \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k \le \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n^2}\right)^{\frac{k}{n^2}+1} \le \left( \frac{n}{n^2}\right)^{\frac{n}{n^2}} \cdot \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k }\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{n^2}} \cdot \frac{n(n+1)}{n^2} \cdot \frac{1}{2} \le \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n^2}\right)^{\frac{k}{n^2}+1} \le \left( \frac{n}{n^2}\right)^{\frac{n}{n^2}} \cdot \frac{n(n+1)}{n^2} \cdot \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \:\xleftarrow{n\to\infty}\:\frac{1}{ \sqrt[n^2]{n^2} } \cdot \frac{n(n+1)}{n^2} \cdot \frac{1}{2} \le \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n^2}\right)^{\frac{k}{n^2}+1} \le \frac{1}{ \sqrt[n]{n} } \cdot \frac{n(n+1)}{n^2} \cdot \frac{1}{2} \:\xrightarrow[]{n\to\infty}\: \frac{1}{2} }\)
Zatem na mocy trzech ciągów granica to \(\displaystyle{ 1/2}\).