Sprawdź, czy ciąg jest zbieżny

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
MlodyMatematykAmator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 23 mar 2019, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy

Sprawdź, czy ciąg jest zbieżny

Post autor: MlodyMatematykAmator » 11 lis 2019, o 13:46

Sprawdź, czy ciąg jest zbieżny. Jeśli tak, znajdź jego granicę.

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ 3^{n} - n!}{ 2^{n} } }\)

Proszę o wskazówkę jak brać się za powyższy przykład. Próbowałem robić to stosując warunek Cauchy'ego oraz kryterium d'Alemberta, jednak do niczego w ten sposób nie doszedłem.

Pozdrawiam, Damian
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2768
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 899 razy

Re: Sprawdź, czy ciąg jest zbieżny

Post autor: Janusz Tracz » 11 lis 2019, o 13:58

Próbowałem robić to stosując warunek Cauchy'ego oraz kryterium d'Alemberta, jednak do niczego w ten sposób nie doszedłem
Przecież to nie szereg więc w jaki sposób próbowałeś z tego skorzystać.
Można udowodnić, że dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ 2 \cdot 4^n \le n!}\) zatem zachodzi też \(\displaystyle{ 3^n+4^n \le n!}\) więc \(\displaystyle{ 3^n-n! \le -4^n}\) więc również

\(\displaystyle{ \frac{3^n-n!}{2^n} \le - \frac{4^n}{2^n} }\)

co daje:

\(\displaystyle{ \frac{3^n-n!}{2^n} \le -2^n }\)

oszacowanie dąży do \(\displaystyle{ - \infty }\) więc nasza granica też.

Dodano po 6 minutach 1 sekundzie:
W celu wykazania \(\displaystyle{ 2 \cdot 4^n \le n!}\) można posłużyć się indukcją dla \(\displaystyle{ n \ge 10}\) powinno już przejść. Można też zauważyć, że:

\(\displaystyle{ 2\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{4^n}{n!} =2e^4}\)

Zatem ze zbieżności szeregu wynika, że \(\displaystyle{ \frac{2 \cdot 4^n}{n!}\to 0 }\) a z tego wynika (def. granicy \(\displaystyle{ \epsilon=1}\)), że od pewnego miejsca jest \(\displaystyle{ \frac{2 \cdot 4^n}{n!}<1}\) czyli \(\displaystyle{ 2 \cdot 4^n \le n!}\)

MlodyMatematykAmator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 23 mar 2019, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy

Re: Sprawdź, czy ciąg jest zbieżny

Post autor: MlodyMatematykAmator » 11 lis 2019, o 14:08

Dziękuję za odpowiedź.
Janusz Tracz pisze:
11 lis 2019, o 14:04
Przecież to nie szereg więc w jaki sposób próbowałeś z tego skorzystać.
A to nie jest tak, że jeśli szereg z wyrazem ogólnym \(\displaystyle{ a_{n} }\) jest rozbieżny, to sam ciąg będący wyrazem ogólnym również jest rozbieżny?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2768
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 899 razy

Re: Sprawdź, czy ciąg jest zbieżny

Post autor: Janusz Tracz » 11 lis 2019, o 14:16

A to nie jest tak, że jeśli szereg z wyrazem ogólnym \(\displaystyle{ a_n}\)
jest rozbieżny, to sam ciąg będący wyrazem ogólnym również jest rozbieżny?
Na górę
Nie. Szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n} }\) jest rozbieżny a ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{n} }\) jest zbieżny. Jest coś takiego jak warunek konieczny zbieżność szeregu i wydaje mi się, że go mylisz. Szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_n}\) może być zbieżny jeśli spełnia warunek konieczny tj. \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\). Dlatego ten warunek często (jak to zwykle bywa z warunkami koniecznymi) wypowiada się dopiero wtedy gdy nie jest on spełniony bo wtedy staje się on ciekawy lub mówi się, że jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_n}\) jest zbieżny to na pewno \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\).

ODPOWIEDZ