Hej,
czy ktoś mógłby mi jak najprościej wytłumaczyć , dlaczego z twierdzenia Stolza wynika, że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}.}\)
Twierdzenie Stolza
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 12 lip 2019, o 20:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 10 razy
Twierdzenie Stolza
Ostatnio zmieniony 10 lis 2019, o 19:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Twierdzenie Stolza
Twierdzenie działa przy pewnych założeniach. Twierdzenia Stolza udowadnia ogólniej, że jeśli ciąg \(\displaystyle{ c_n>0}\) ma granicę (niekoniecznie właściwą) to ciąg średnich arytmetycznych, geometrycznych i harmonicznych są zbieżne do tej samej granicy . Zatem jeśli przyjmiesz za \(\displaystyle{ c_n= \frac{x_{n+1}}{x_n} }\) to ciąg średnich geometrycznych będzie rzędu \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x_n} }\) stąd równość.
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_o_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_%C5%9Brednich
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
Re: Twierdzenie Stolza
Można też uzasadnić, że dla ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) o wyrazach dodatnich z istnienia granicy (skończonej lub nie) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=:G}\) wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n}=G}\).
By udowodnić ten fakt warto skorzystać w pewnym momencie z zależności \(\displaystyle{ a=\textrm{e}^{\ln a}}\).
By udowodnić ten fakt warto skorzystać w pewnym momencie z zależności \(\displaystyle{ a=\textrm{e}^{\ln a}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Twierdzenie Stolza
Na podstawie uwag Pana Janusza Tracza
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{x_{n}} = \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{ x_{1}\cdot \frac{x_{2}}{x_{1}}\cdot \frac{x_{3}}{x_{2}}\cdot...\cdot \frac{x_{n}}{x_{n-1}}} = \lim_{n\to \infty} \frac{x_{n}}{x_{n-1}} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{x_{n}} = \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{ x_{1}\cdot \frac{x_{2}}{x_{1}}\cdot \frac{x_{3}}{x_{2}}\cdot...\cdot \frac{x_{n}}{x_{n-1}}} = \lim_{n\to \infty} \frac{x_{n}}{x_{n-1}} }\)