Zbadaj zbieżność ciągu i podaj granicę, jeśli istnieje

[Ester315]

Zbadaj zbieżność ciągu i podaj granicę, jeśli istnieje.
\(\displaystyle{ k}\) jest liczbą naturalną
ciąg \(\displaystyle{ c_{n} = n\left( \sqrt[k]{1 + \frac{1}{n} } - 1\right)}\)

Wiem, że ciąg jest zbieżny, jeśli:
1. ma granicę
2. jest nierosnący i jest ograniczony z góry
3. jest niemalejący i jest ograniczony z dołu.

I na razie mam tyle:
Jeśli \(\displaystyle{ k = 1}\), to ciąg jest stały, jest zbieżny i jego granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\).
Jeśli \(\displaystyle{ k > 1}\), to ciąg jest rosnący i będzie zbieżny, jeśli będzie ograniczony z góry, czyli będzie spełnione założenie:

\(\displaystyle{ \exists_{M \in R}}\) \(\displaystyle{ \forall_{n \in N} }\) \(\displaystyle{ c_{n} \le M}\)

Lub jeśli ciąg będzie miał granicę i będzie spełnione:

\(\displaystyle{ \forall_{\epsilon > 0} }\) \(\displaystyle{ \exists_{x}}\) \(\displaystyle{ \forall_{n > x} }\) \(\displaystyle{ \left| c_{n} - g\right| < \epsilon }\)

Ewentualnie mamy jeszcze warunek Cauchy'ego, mówiący o tym, że ciąg jest zbieżny, jeśli:

\(\displaystyle{ \forall_{\epsilon > 0} }\) \(\displaystyle{ \exists_{x}}\) \(\displaystyle{ \forall_{n, m > x} }\) \(\displaystyle{ \left| c_{n} - c_{m}\right| < \epsilon }\)

I dalej nie wiem. Musimy wskazać jakieś \(\displaystyle{ M}\), dla jakiegoś \(\displaystyle{ k}\) (jakiego)? Proszę o jakieś wskazówki i sprawdzenie poprawności tego wyżej.

[Janusz Tracz]

Zauważ, że dla \(\displaystyle{ k \ge 1}\) wyrażanie \(\displaystyle{ \frac{1}{k}\ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) \rightarrow 0 }\) wraz z \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\) zatem korzystając z graniczy specjalnej wiemy, że:

\(\displaystyle{ \frac{e^{\frac{1}{k}\ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }-1}{ \frac{1}{k}\ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) } \rightarrow 1}\)

Zauważmy teraz, że:

\(\displaystyle{ c_n=\frac{e^{\frac{1}{k}\ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }-1}{ \frac{1}{k}\ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) } \cdot \frac{\frac{1}{k}\ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }{ \frac{1}{n} }=\frac{e^{\frac{1}{k}\ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }-1}{ \frac{1}{k}\ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) } \cdot \frac{\ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n}{k} \rightarrow 1 \cdot \frac{\ln e}{k}= \frac{1}{k} }\)

Zatem udało się policzyć granicę \(\displaystyle{ c_n}\) w sposób ogólny wynosi ona \(\displaystyle{ \frac{1}{k} }\)

[Ester315]

Obawiam się, że nie rozumiem do końca wszystkiego, więc jeszcze raz.
Dla \(\displaystyle{ k \ge 1}\):
\(\displaystyle{ \sqrt[k]{1 + \frac{1}{n}}}\)oznaczamy jako \(\displaystyle{ x}\), teraz ze wzorów \(\displaystyle{ log_{e}x = logx = lnx }\) mamy, że \(\displaystyle{ logx = log(1 + \frac{1}{n})^{\frac{1}{k}} = \frac{1}{k}log(1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{k}ln(1 + \frac{1}{n}) }\)

Skąd wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{k}ln(1 + \frac{1}{n}) }\) zbiega do 0?

[Janusz Tracz]

Tak dobrze rozumiesz. Rozważam logarytm wyrażania \(\displaystyle{ \sqrt[k]{1 + \frac{1}{n}}}\) który jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{k}\ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }\) a dąży to do zera. Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \rightarrow 0}\) więc \(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{n} \rightarrow 1}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{k}\ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) \rightarrow \frac{1}{k} \cdot \ln 1=0 }\)