Granice ciągu i kresy

[Ester315]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym niepustego zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ a}\) jest kresem górnym \(\displaystyle{ A}\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (niekoniecznie parami różnych) elementów \(\displaystyle{ A}\) zbieżny do \(\displaystyle{ a}\).

Wiem, że \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\) wtedy i tylko wtedy gdy:
1. \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\) (\(\displaystyle{ a}\) jest większe od każdego elementu w zbiorze \(\displaystyle{ A}\))
2. jeżeli istnieje \(\displaystyle{ b > a}\), to \(\displaystyle{ b}\) nie jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\) (\(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym).

Ciąg jest zbieżny, jeśli ma granicę. Ciąg ma granicę, jeśli dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) istnieje \(\displaystyle{ m}\) takie, że dla każdego \(\displaystyle{ n > m}\) mamy \(\displaystyle{ \left| a_{n} - g \right| < \epsilon }\).

Dodatkowo, jeśli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony z góry i z dołu.

Czy ktoś mógłby mi pomóc i wytłumaczyć jak zrobić to zadanie?

[matmatmm]

Wiem, że \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\) wtedy i tylko wtedy gdy:
1. \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\) (\(\displaystyle{ a}\) jest większe od każdego elementu w zbiorze \(\displaystyle{ A}\))
2. jeżeli istnieje \(\displaystyle{ b > a,}\) to \(\displaystyle{ b}\) nie jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\) (\(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym).

Definicja chyba nie jest dobrze sformułowana. Powinno być zdaje się
1. \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\) (\(\displaystyle{ a}\) jest większe lub równe od każdego elementu w zbiorze \(\displaystyle{ A}\))
2. dla każdego \(\displaystyle{ b < a}\), b nie jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\) (a jest najmniejszym ograniczeniem górnym).

Co do dowodu:

\(\displaystyle{ (\Longrightarrow)}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ a}\) jest kresem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\) i rozważmy ciąg o wzorze \(\displaystyle{ x_n:=a-\frac{1}{n}}\). Wobec warunku 2. dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) istnieje \(\displaystyle{ a_n\in A}\) takie, że \(\displaystyle{ x_n<a_n}\), a wobec warunku 1. jest również \(\displaystyle{ a_n\leq a}\).

\(\displaystyle{ (\Longleftarrow)}\). Niech \(\displaystyle{ (a_n)}\) będzie ciągiem elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\) zbieznym do \(\displaystyle{ a}\) (ciąg taki istnieje z założenia). Wobec założenia, że \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym wystarczy sprawdzić warunek 2. Ustalmy \(\displaystyle{ b<a}\) i zastosujmy definicję zbieżności ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\) dla \(\displaystyle{ \varepsilon=a-b>0}\). Istnieje wtedy \(\displaystyle{ n\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ |a-a_n|<a-b}\), ale wobec \(\displaystyle{ a_n\leq a}\) daje to \(\displaystyle{ a-a_n=|a-a_n|<a-b}\), czyli \(\displaystyle{ b<a_n\in A}\).

[Ester315]

Bardzo dziękuję za odpowiedź. Czy mógłby Pan powiedzieć, dlaczego dla ciągu \(\displaystyle{ (x_{n})}\) wybraliśmy właśnie taki wzór?

[a4karo]

Za \(x_n\) możesz wybrać dowolny ciąg zbieżny z lewej strony do \(a\), dowód pozostanie bez zmian.