Oblicz granicę ciągu [matematyka wyższa]

[Ester315]

Mam do obliczenia granice ciągów. Zadanie pochodzi z kierunku matematyka. Czy ktoś pomógłby mi rozumieć jak się do tego zabrać? Wytłumaczy mi ktoś jak to zrobić krok po kroku?

\(\displaystyle{ a_{n} = \sqrt{4n^2 + 3n + 5} - \sqrt{n^2 + n - 2} - \sqrt{n^2 - 7}}\)

Można to rozpisać tak? I wtedy spróbować obliczyć granicę różnicy dwóch pierwszych i potem odjąć jeszcze ten trzeci?

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }a_{n} = \lim_{ n \to \infty } \sqrt{4n^2 + 3n + 5} - \lim_{ n \to \infty } \sqrt{n^2 + n - 2} - \lim_{ n \to \infty } \sqrt{n^2 - 7}}\)

[Tmkk]

A jak brzmi treść zadania?

[janusz47]

Treść zadania jak w tytule oblicz granicę ciągu

\(\displaystyle{ a_{n} = \sqrt{4n^2 +3n+5} -\sqrt{n^2+n-2} - \sqrt{n^2-7}. }\)


\(\displaystyle{ a_{n} = 2\sqrt{n^2 +\frac{3}{4}n+\frac{5}{4}} -\sqrt{n^2+n-2} - \sqrt{n^2-7} }\)

\(\displaystyle{ a_{n} = \sqrt{n^2 +\frac{3}{4}n+\frac{5}{4}} -\sqrt{n^2+n-2} + \sqrt{n^2 +\frac{3}{4}n+\frac{5}{4}} - \sqrt{n^2-7} }\)

\(\displaystyle{ a- b = \frac{a^2 -b^2}{a+b} }\)

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ n^2 +\frac{3}{4}n +\frac{5}{4} -n^2 -n +2}{\sqrt{n^2 +\frac{3}{4}n+\frac{5}{4}} +\sqrt{n^2+n-2}} + \frac{n^2 +\frac{3}{4}n +\frac{5}{4} -n^2 +7}{\sqrt{n^2 +\frac{3}{4}n+\frac{5}{4}} + \sqrt{n^2-7}} }\)

\(\displaystyle{ a_{n} = ... }\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_{n} = ... = -\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}. }\)

[Tmkk]

@janusz47

kiedy pisałem tamtą wiadomość w treści nie było żadnego ciągu.

[Jan Kraszewski]

Można to rozpisać tak? I wtedy spróbować obliczyć granicę różnicy dwóch pierwszych i potem odjąć jeszcze ten trzeci?

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }a_{n} = \lim_{ n \to \infty } \sqrt{4n^2 + 3n + 5} - \lim_{ n \to \infty } \sqrt{n^2 + n - 2} - \lim_{ n \to \infty } \sqrt{n^2 - 7}}\)

A na jakiej podstawie chciałabyś tak zrobić?

JK

[Ester315]

Bardzo dziękuję za odpowiedź!

Na podstawie tego wzoru: \(\displaystyle{ \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n-b_n)=a-b}}\)

[Jan Kraszewski]

Na podstawie tego wzoru: \(\displaystyle{ \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n-b_n)=a-b}}\)

A cóż to za wzór? Czym są \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) ?

JK

[Ester315]

\(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b }\) to granice ciągów odpowiednio \(\displaystyle{ a_{n}}\) i \(\displaystyle{ b_{n}}\)

[Jan Kraszewski]

Aha. A znasz pełne brzmienie twierdzenia, w którym występuje ten wzór?

JK

[Tmkk]

Za pomocą tego wzoru można udowodnić bardzo znane twierdzenie, że \(\displaystyle{ \infty - \infty = 0}\)

\(\displaystyle{ 0 = \lim_{n \to \infty} 0 = \lim_{n \to \infty} (n-n) = \infty - \infty}\)

Podobnie można pokazać, że \(\displaystyle{ 0=1}\)

[janusz47]

Twierdzenie o różnicy granic ciągów

Jeśli istnieją granice \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{n} , \ \ \lim_{n\to \infty} b_{n} }\) i określona jest ich różnica, to istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} (a_{n} - b_{n}) }\) i zachodzi wzór

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} (a_{n} - b_{n}) = \lim_{n \to \infty} a_{n} - \lim_{n\to \infty} b_{n}. }\)

Czy proponowana przez Panią granica różnicy ciągów, spełnia założenia twierdzenia o różnicy granic ?