Rozbieżność z definicji

[Jan Kraszewski]

Czyli nie doszliśmy do sprzeczności.

JK

[terefere123]

O rany, zgadza się dla zaprzeczenia definicji czyli dla definicji jest fałszywe. W takim razie \(\displaystyle{ (-2)^{n}}\) nie jest zbieżne do \(\displaystyle{ \infty }\)

Odnośnie drugiego ciągu nie mam pomysłu.

[a4karo]

Brawo. To teraz pokaż, że nie jest też zbieżny do \(-\infty\)

Wsk do 2: dla odpowiednio dużych \(n\) (oblicz jakich) zachodzi \(n^3>6n^2\).

[terefere123]

Dla \(\displaystyle{ n > 6}\) zachodzi taka nierówność.
Mogę tak to zapisać? (z góry przepraszam za te znaczki ale naprawdę nie wiem w jaki inny sposób miałbym to zapisywać)
\(\displaystyle{ n^3 - 5n^2 - 10 > 6n^2-5n^2-10 = n^2 - 10 > M}\) i teraz wiemy że \(\displaystyle{ n^2 - 10 > M}\) jeśli \(\displaystyle{ n > \sqrt{M + 10}}\) i to wszystko dla \(\displaystyle{ n>6}\)

[Jan Kraszewski]

(z góry przepraszam za te znaczki ale naprawdę nie wiem w jaki inny sposób miałbym to zapisywać)

Zdaniami w języku polskim (nie muszą być wielokrotnie złożone ). Dowód powinien dać się przeczytać.

JK

[a4karo]

Spróbuj tego, co napisał JK. Może Ci sie uda?

[Jan Kraszewski]

Zacznij może tak:

Pokażemy, że ciąg \(\displaystyle{ a_n=...}\) jest rozbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\). W tym celu ustalmy dowolne \(\displaystyle{ M\in\RR}\). Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że \(\displaystyle{ M>0}\). Niech \(\displaystyle{ n_0=...}\) Wtedy... itd.

JK

[terefere123]

Gdy pisałem tego posta nie widziałem poprzedniego. Po przeczytaniu podpowiedzi i moich wypocin widzę że to co napisałem pozostawia dużo do życzenia. :/

\(\displaystyle{ a _{n} = n^3 - 5n^2 - 10 }\)
Mamy pokazać, że \(\displaystyle{ a _{n} }\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ \infty }\)
Pokażemy, że istnieje takie \(\displaystyle{ n_{0}}\), że \(\displaystyle{ (\forall M) (\exists n _{0})( \forall n \ge n _{0} )(a _{n} > M)}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ n^3 > 6n^2}\) dla \(\displaystyle{ n > 6}\). Z tego wynika, że \(\displaystyle{ n^3 - 5n^2 - 10 > 6n^2-5n^2-10 = n^2 - 10}\)
\(\displaystyle{ n^2 - 10 > M}\) jeśli \(\displaystyle{ n > \sqrt{M + 10}}\) czyli \(\displaystyle{ n^3 - 5n^2 - 10 > M}\) gdy \(\displaystyle{ n > \sqrt{M + 10}}\)
Z tego wynika, że istnieje takie \(\displaystyle{ n_{0} =\left[ \sqrt{M + 10}\right] + 1}\) Czyli \(\displaystyle{ a _{n} }\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ \infty }\).

Mam nadzieję, że chociaż w jakimś procencie teraz jest poprawnie zapisane. Skąd wiedziałeś że ta nierówność \(\displaystyle{ n^3 > 6n^2}\) będzie tutaj wymagana? Doświadczenie czy może coś innego?
Bardzo Wam dziękuje za pomoc.

[Jan Kraszewski]

Pokażemy, że istnieje takie \(\displaystyle{ n_{0}}\), że \(\displaystyle{ (\forall M) (\exists n _{0})( \forall n \ge n _{0} )(a _{n} > M)}\)

To jest niedobrze.

Mam nadzieję, że chociaż w jakimś procencie teraz jest poprawnie zapisane.

To jeszcze pozostawia sporo do życzenia. Możesz spróbować zapisać jeszcze raz.

JK

[a4karo]

\(n^3>6n^2\) wziąłem, bo to znakomicie upraszcza wyrażenie, a rożnica i tak dąży do nieskończonośći

Trochę Ci się kolejność pozajączkowała

Jest odwrotnie: Z tego wynika, że dla \(n>n_0=[\sqrt{M+10}]\) zachodzi \(a_n>M\)

[terefere123]

Doceniam to, że chcecie aby ten dowód był tak jak należy. Niestety mam jeszcze inne zadania z którymi muszę się zmierzyć (niekoniecznie dowody i analiza) i z braku wystarczającej ilości czasu już nie będę go poprawiał. W głównej mierze chodziło mi o ten krok z \(\displaystyle{ n^3}\) zejść do samych \(\displaystyle{ n^2}\) czy na odwrót. Na naukę przeprowadzania w książkowy sposób dowodów przyjdzie jeszcze czas Dziękuje jeszcze raz za poświęcony czas.

[a4karo]

Rozwiązanie zadania to nie podanie wyniku, lecz rozumowanie prowadzące do niego.

Może sie okazać, że wynik masz poprawny, a sposób jego uzyskania jest błędny i dostaniesz za takie rozwiązanie zero. Przykład:
$$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$

Jeżeli powiesz, że skróciłes szóstki, to masz w plecy.

Dlatego opis rozwiązania i wystepujące w nim wynikania logiczne są ważne. BARDZO WAŻNE

Z tym \(n^3\) mogłeś też tak: dla odpowiednich \(n\) mamy \(5n^2<n^3/2\) więc ...