Rozbieżność z definicji

[terefere123]

Ciag \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest rozbiezny do \(\displaystyle{ \infty , - \infty }\), gdy dla kazdej liczby rzeczywistej
prawie wszystkie wyrazy \(\displaystyle{ a_{n}}\) sa wieksze (mniejsze) od \(\displaystyle{ M}\). Sprawdzic bezposrednio
z tej definicji rozbieznosc nastepujacych ciagów do \(\displaystyle{ ± \infty}\).

1. Mam problem z jednym z przykładów a mianowicie z: \(\displaystyle{ (-2)^{n}}\). Wiem, że ten ciąg nie jest zbieżny ani do \(\displaystyle{ + \infty}\) ani do \(\displaystyle{ - \infty }\). Nie mam pojęcia jak zacząć. Miałem pomysł żeby rozdzielić to na dwa przypadki dla n parzystych i nieparzystych ale nie wiem czy to będzie zgodne z zadaniem. Myślałem też aby to zapisać \(\displaystyle{ |(-2)^{n}| > |M| \rightarrow n > \log_{2}{|M|}}\) Ale też nie wiem czy to jest poprawnie.

2. Tutaj inny przykład z tego zadania. Czy jest dobrze?

\(\displaystyle{ a_{n} = n ^{3} - 5n ^{2} - 10 \\
n ^{3} - 5n ^{2} - 10 > M\\
n^{3} > n ^{3} - 5n ^{2} - 10\\
n^{3} > M\\
n > \sqrt[3]{M} }\)

[janusz47]

Najprościej metodą nie wprost, wykorzystując twierdzenie " że jeśli ciąg jest zbieżny do granicy \(\displaystyle{ g, }\) wtedy każdy podciąg tego ciągu jest też zbieżny do granicy \(\displaystyle{ g". }\)

Natomiast z definicji granicy niewłaściwej rozpatrzyć dwa przypadki \(\displaystyle{ n }\) parzystego i nieparzystego.

[a4karo]

Zastanów się jak brzmi zaprzeczenie stwierdzenia "dla każdego \(M\) prawie wszystkie wyrazy są większe od \(M\)".

[terefere123]

"dla każdego \(\displaystyle{ M}\) prawie wszystkie wyrazy są większe od \(\displaystyle{ M}\)"
Zaprzeczenie to: "Istnieje \(\displaystyle{ M}\) takie, że skończona ilość wyrazów jest mniejsza lub równa \(\displaystyle{ M}\)"?

[a4karo]

Nie. Pomyśl nad drugą częścią

[terefere123]

\(\displaystyle{ \neg ((\forall M) (\exists n _{0})( \forall n \ge n _{0} )(a _{n} > M)) \rightarrow (\exists M)(\forall n _{0} )(\exists n \ge n _{0})(a _{n} \le M )}\)

Chyba teraz powinno być ok. Czy 2 przykład w pierwszym poście jest w porządku?

[a4karo]

To jest magia znaczków (choć to prawda). Potrafisz prawa stronę opisać słowami? To znacznie ułatwi rozwiązanie zadania.

Nie wiem czy drugi przykład jest w porządku, bo napisałeś kupę literek, zamiast powiedzieć po polsku i słowami co i dlaczego robisz.
Symboli używaj tylko wtedy, gdy ułatwiają opowiadanie.

[terefere123]

Niestety nie potrafię sobie poradzić z przetłumaczeniem zaprzeczenia "prawie wszystkie".
Odnośnie tego 2. przykładu to chciałem pokazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ M}\) ciag \(\displaystyle{ a_{n} }\) będzie od niego większy jak tylko \(\displaystyle{ n}\) będzie większe od \(\displaystyle{ \sqrt[3]{M}}\)

[a4karo]

Ad 2. No to pokaż. Ale porządnie. Z objasnieniami

Ad 1. ile będzie takich \(n\), że \(a_N\leq M\) ?

[terefere123]

Ad 1. Co najmniej jedno.

Ad 2. Czyli to co napisałem w pierwszym poście razem z poprzednim nie wystarcza?

\(\displaystyle{ (\forall M) (\exists n _{0})( \forall n \ge n _{0} )(a _{n} > M) }\)
\(\displaystyle{ a_{n} = n ^{3} - 5n ^{2} - 10 }\) Mamy taki ciąg, bierzemy dowolne \(\displaystyle{ M}\). Pokażmy, że \(\displaystyle{ a _{n} > M}\) dla \(\displaystyle{ n \ge n _{0} }\)
\(\displaystyle{ n ^{3} - 5n ^{2} - 10 > M}\)
\(\displaystyle{ n^{3} > n ^{3} - 5n ^{2} - 10}\) Prawdziwe dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\)
\(\displaystyle{ n^{3} > M}\)
\(\displaystyle{ n > \sqrt[3]{M}}\)
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ n _{0} = \left[ \sqrt[3]{M} \right] + 1 }\) czyli \(\displaystyle{ a _{n} > M}\) dla \(\displaystyle{ n \ge n _{0} }\) zatem że ciąg jest rozbieżny do \(\displaystyle{ \infty }\)

[Jan Kraszewski]

Wynika z tego, że \(\displaystyle{ n _{0} = \left[ \sqrt[3]{M} \right] + 1 }\) czyli \(\displaystyle{ a _{n} > M}\) dla \(\displaystyle{ n \ge n _{0} }\)

Nieprawda. Sprawdź dla \(\displaystyle{ M=1330, n=11.}\)

Cały czas żonglujesz znaczkami.

JK

[a4karo]

AD 1. A może co najmniej 2? Myśl dalej

Ad 2. Czym jest ten ciąg znaczkó w pierwszej linii? Może tak: Mamy pokazać, że ....
W drugiej linii piszesz o \(n_0\) ale nie wiadomo co to jest. Powinieneś zacząć od: pokażemy, że istnieje takie \(n_0\), żę...

Jeżeli \(n^3>M\), to wcale nie znaczy, że \(n^3-5n^2-10>M\).
Myśl dalej

[terefere123]

Ad 1. Nieskończenie wiele, bo jak dla \(\displaystyle{ n _{o} }\) jest jakieś \(\displaystyle{ n}\) to dla \(\displaystyle{ n _{0} = n + 1}\) tez musi istnieć inne \(\displaystyle{ n _{} }\) itd.

Ad 2. Faktycznie głupie przejście. Pomyślne nad innym rozwiązaniem.

[a4karo]

Ano włąśnie. Pomyśl teraz o np. \(M=0\). Czy ciąg z punktu 1 może być zbieżny do nieskończoności w świetle Twoich wniosków?

[terefere123]

Jeśli \(\displaystyle{ M=0}\) to \(\displaystyle{ (-2) ^{n} }\) i tak ma nieskonczenie wiele \(\displaystyle{ n}\) (nieparzystych), że \(\displaystyle{ a_{n} \le 0}\). Czyli nie doszliśmy do sprzeczności.