Granica szeregu geometrycznego

[Rafcio_srubka]

Podaj granicę ciągu:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1+2+4+8+...+ 2^{k}+...+64^{n} }{1+4+16+64+...+ 4^{k}+...+64^{n} } }\)

Odp: \(\displaystyle{ \frac{3}{2} }\)

Moje rozwiązanie zadania:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{1+2+4+8+...+ 2^{k}+...+64^{n} }{1+4+16+64+...+ 4^{k}+...+64^{n} } = \lim_{ n \to \infty } \frac{1 \cdot \frac{1-2^{n}}{1-2} }{1 \cdot \frac{1-4^{n}}{1-4} } = \lim_{ n \to \infty } \frac{2^{n}-1}{ 2^{2n} \cdot \frac{1}{3} -\frac{1}{3} }
= \lim_{ n \to \infty } \frac{2^{n}\biggl(1- \frac{1}{2^{n}}\biggr)}{ 2^{2n} \biggl( \frac{1}{3} -\frac{ \frac{1}{3}}{2^{2n}} \biggr)}
= \lim_{ n \to \infty } \frac{1- \frac{1}{2^{n}}}{ 2^{n} \biggl( \frac{1}{3} -\frac{ \frac{1}{3}}{2^{2n}} \biggr)} }\)

I do tego momentu wszystko jest jasne, jednakże nie wiem co zrobić dalej. Roboczo można napisać, że wyjdzie:
\(\displaystyle{ \biggl[ \frac{1-0}{2 \cdot \frac{1}{3} - 0} \biggr] = \frac{3}{2} }\)

Czyli wynik się zgadza, jednakże nie wiem dlaczego \(\displaystyle{ 2^{n} }\) w mianowniku przy \(\displaystyle{ n \to \infty }\) daje w granicy \(\displaystyle{ 2}\), a nie \(\displaystyle{ \infty }\)
Proszę o pomoc, bo chyba nie do końca rozumiem to zadanie.

[Tmkk]

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{1+2+4+8+...+ 2^{k}+...+64^{n} }{1+4+16+64+...+ 4^{k}+...+64^{n} } = \lim_{ n \to \infty } \frac{1 \cdot \frac{1-2^{n}}{1-2} }{1 \cdot \frac{1-4^{n}}{1-4} }}\)

Skąd jest to przejście?

I na koniec \(\displaystyle{ 2^n}\) nie daje w granicy \(\displaystyle{ 2}\), tylko Ty byś chciał, aby dawało, aby się zgadzał wynik : P

[Rafcio_srubka]

Na górze mojej granicy, w liczniku, jest suma ciągu geometrycznego. Zatem obliczam sumę \(\displaystyle{ n }\) wyrazów tego ciągu ze wzoru:

\(\displaystyle{ S_{n}=a_{1} \cdot \frac{1-q^{n}}{1-q} }\), gdzie w moim przypadku \(\displaystyle{ a_{1}=1, q=2}\).

Analogiczne zrobiłem w mianowniku, tylko tam \(\displaystyle{ a_{1}=1, q=4}\).

[Jan Kraszewski]

Zatem obliczam sumę \(\displaystyle{ n }\) wyrazów tego ciągu ze wzoru:

\(\displaystyle{ S_{n}=a_{1} \cdot \frac{1-q^{n}}{1-q} }\)

Problem polega na tym, że ani w liczniku, ani w mianowniku liczba wyrazów ciągu, które sumujesz, nie jest równa \(\displaystyle{ n}\).

Musisz zbadać, ile masz wyrazów w liczniku, a ile w mianowniku - na tym polega to zadanie.

JK

[Janusz Tracz]

Jak dla mnie interpretacja takiej sumy to:

\(\displaystyle{ \begin{align} 1+2+4+8+...+ 2^{k}+...+64^{n} = \\& 2^{0}+2^{1}+...+2^k+\\& 2^{k+1}+2^{k+2}+...+2^{2k}+\\& 2^{2k+1}+2^{2k+2}+...+2^{3k}+ \\& 2^{3k+1}+2^{3k+2}+...+2^{4k}+ \\& 2^{4k+1}+2^{4k+2}+...+2^{5k}+ \\& 2^{5k+1}+2^{5k+2}+...+2^{6k}\end{align}}\)

To zapisał bym jako sumę sum przy użyciu \(\displaystyle{ \sum_{}^{} }\) co nie tylko uprości policzenie tego ale sprawi, że zapis będzie jednoznaczny. Podobnie z mianownikiem.

[Jan Kraszewski]

To zapisał bym jako sumę sum

Ale po co?! Przecież to zwykła suma wyrazów ciągu geometrycznego i jest na to wzór.

JK