Granica z e

[niunix98]

Niech \(\displaystyle{ (a_n), (b_n)}\) - ciągi liczb rzeczywistych, że \(\displaystyle{ (a_n) \rightarrow 0}\) oraz \(\displaystyle{ (b_n) \rightarrow g}\). Czy wynika stąd, że \(\displaystyle{ \lim (1 + a_n )^{\frac{b_n}{a_n}} = e^g}\)?

[Premislav]

Tak.
Dowód jest bardzo prosty, o ile możesz korzystać z ciągłości pewnych funkcji (np. funkcji wykładniczej), bez tego trudniejszy.

[a4karo]

Nie wynika, bo założenia nie są wystarczające aby wyrażenie
$$ (1 + a_n )^{\frac{b_n}{a_n}}$$
miało sens

[Premislav]

A, rzeczywiście, jeszcze może być \(\displaystyle{ a_{n}=0}\) dla pewnych \(\displaystyle{ n}\), przeoczyłem to.