Monotoniczność ciągu z granicą e.

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
poetaopole
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 325
Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 182 razy

Monotoniczność ciągu z granicą e.

Post autor: poetaopole » 9 paź 2019, o 15:35

Wykaż, używając dwumianu Newtona, że ciąg \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n}\right) ^{n}}\) jest rosnący.
Ostatnio zmieniony 9 paź 2019, o 16:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14211
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 67 razy
Pomógł: 4657 razy

Re: Monotoniczność ciągu z granicą e.

Post autor: Premislav » 9 paź 2019, o 18:07

Narzucanie metody rozwiązywania zadania śmierdzi fekaliami, ale cóż, trudno.
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n+1}{n+1\choose k}\frac{1}{(n+1)^{k}}-\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}\frac{1}{n^{i}}\\=\frac{1}{(n+1)^{n+1}}+\sum_{k=1}^{n}{n+1\choose k}\frac{1}{(n+1)^{k}}-\sum_{i=1}^{n}{n\choose i}\frac{1}{n^{i}}\\=\frac{1}{(n+1)^{n+1}}+\sum_{k=1}^{n}\left({n+1\choose k}\frac{1}{(n+1)^{k}}-{n\choose k}\frac{1}{n^{k}}\right)}\)
i teraz zauważmy, że zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ {n+1\choose k}\frac{1}{(n+1)^{k}}-{n\choose k}\frac{1}{n^{k}}\ge 0 \ (*)}\)
Istotnie, równoważnie mamy:
\(\displaystyle{ \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{k}\ge 1-\frac{k}{n+1}}\)
co wynika natychmiast z nierówności Bernoulliego (jej dowód dla wykładnika naturalnego to prosta indukcja po \(\displaystyle{ k}\)).
Dodajemy stronami nierówności \(\displaystyle{ (*)}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2\ldots n}\) i mamy w związku z tym
\(\displaystyle{ \frac{1}{(n+1)^{n+1}}+\sum_{k=1}^{n}\left({n+1\choose k}\frac{1}{(n+1)^{k}}-{n\choose k}\frac{1}{n^{k}}\right)\\\ge \frac{1}{(n+1)^{n+1}}>0}\)

A jeśli ktoś jest fetyszystą elementarności, czego o mnie nie można powiedzieć, to nierówność
\(\displaystyle{ \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{k}\ge 1-\frac{k}{n+1}}\)
też może wykazać ze wzoru dwumianowego, ale mnie się nie chce tego robić.

poetaopole
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 325
Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 182 razy

Re: Monotoniczność ciągu z granicą e.

Post autor: poetaopole » 9 paź 2019, o 19:03

Fekaliami? To akurat bąki puszcza prof. Volodymyr Flyud z POLITECHNIKI... :) Od lat uczepił się dwumianu Newtona i nawet do jajecznicy oprócz soli, pieprzu dodaje dwumian :) Ale dziękuję za rozwiązanie, które zaraz przejrzę... Nigdy się na Tobie nie zawiodłem, więc na pewno będzie OK!

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 258
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Pomógł: 66 razy

Re: Monotoniczność ciągu z granicą e.

Post autor: JHN » 10 paź 2019, o 01:29

Alternatywnie:
Wobec dodatniości wyrazów \(\displaystyle{ (a_n)}\) wystarczy wykazać \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1} }{a_n} >1}\), co jest, moim zdaniem, łatwiejsze.
Pozdrawiam

ODPOWIEDZ