Matematyka.pl

Utknąłem przy próbie obliczenia granicy następującego ciągu:

\(\displaystyle{ a_{n} = \left( \frac{3n+2}{2n-3} \right)^{5-n}}\)

Próbowałem doprowadzić wyrażenie do granicy z "e", ale nic z tego nie wyszło.

Zacząłem od wnętrza nawiasu:

\(\displaystyle{ \frac{3n+2}{2n-3} = \frac{3n+2}{2n-3} - 1 + 1 = 1+ \frac{n+5}{2n-3} }\)

Następnie:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{3n+2}{2n-3} \right)^{5-n} = \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{1}{ \frac{2n-3}{n+5} } \right)^{5-n} =\lim_{n \to \infty }\left\{\left[ \left( 1+ \frac{1}{ \frac{2n-3}{n+5} } \right)^{ \frac{2n-3}{n+5} }\right] ^{?} \cdot \left( 1+ \frac{1}{ \frac{2n-3}{n+5} } \right)^{?} \right\} }\)

W ostatnim etapie nie potrafię zbilansować potęg, tzn. przemnożyć potęgi \(\displaystyle{ \frac{2n-3}{n+5}}\) przez taki czynnik, aby dostać \(\displaystyle{ 5-n}\)

Czy ktoś ma może pomysł jak się z tym uporać? Dziękuję z góry za podpowiedź!

Próbowałem doprowadzić wyrażenie do granicy z "e"

Nie są spełnione założenia by powoływać się na:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{1}{a_n} \right)^{a_n}=e }\)

wszak równość ta zachodzi gdy \(\displaystyle{ a_n\to \infty }\) a Ty w roli \(\displaystyle{ a_n}\) chciałeś użyć \(\displaystyle{ \frac{2n-3}{n+5}\not\to \infty }\). Można inaczej do tego podejść, zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{3n+3}{2n-3}\to \frac{3}{2} }\) więc od pewnego progu \(\displaystyle{ N}\) prawdziwa jest na przykład nierówność \(\displaystyle{ \frac{3n+2}{2n-3} \ge 1+ \frac{1}{4} }\) dla każdego \(\displaystyle{ n>N}\). Podnosząc stronami do potęgi \(\displaystyle{ 5-n}\) dostajemy

\(\displaystyle{ 0\le \left( \frac{3n+2}{2n-3} \right)^{5-n} \le \left( 1+ \frac{1}{4} \right)^{5-n} \rightarrow 0 }\)

Z twierdzenia o trzech ciągach mamy to czego się spodziewaliśmy.

Dziękuję serdecznie obu Panom za rozwiązanie i wskazówki. Już teraz wiem czemu moja metoda była błędna.