Problem z granicą ciągu
: 9 paź 2019, o 12:30
Utknąłem przy próbie obliczenia granicy następującego ciągu:
\(\displaystyle{ a_{n} = \left( \frac{3n+2}{2n-3} \right)^{5-n}}\)
Próbowałem doprowadzić wyrażenie do granicy z "e", ale nic z tego nie wyszło.
Zacząłem od wnętrza nawiasu:
\(\displaystyle{ \frac{3n+2}{2n-3} = \frac{3n+2}{2n-3} - 1 + 1 = 1+ \frac{n+5}{2n-3} }\)
Następnie:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{3n+2}{2n-3} \right)^{5-n} = \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{1}{ \frac{2n-3}{n+5} } \right)^{5-n} =\lim_{n \to \infty }\left\{\left[ \left( 1+ \frac{1}{ \frac{2n-3}{n+5} } \right)^{ \frac{2n-3}{n+5} }\right] ^{?} \cdot \left( 1+ \frac{1}{ \frac{2n-3}{n+5} } \right)^{?} \right\} }\)
W ostatnim etapie nie potrafię zbilansować potęg, tzn. przemnożyć potęgi \(\displaystyle{ \frac{2n-3}{n+5}}\) przez taki czynnik, aby dostać \(\displaystyle{ 5-n}\)
Czy ktoś ma może pomysł jak się z tym uporać? Dziękuję z góry za podpowiedź!
\(\displaystyle{ a_{n} = \left( \frac{3n+2}{2n-3} \right)^{5-n}}\)
Próbowałem doprowadzić wyrażenie do granicy z "e", ale nic z tego nie wyszło.
Zacząłem od wnętrza nawiasu:
\(\displaystyle{ \frac{3n+2}{2n-3} = \frac{3n+2}{2n-3} - 1 + 1 = 1+ \frac{n+5}{2n-3} }\)
Następnie:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{3n+2}{2n-3} \right)^{5-n} = \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{1}{ \frac{2n-3}{n+5} } \right)^{5-n} =\lim_{n \to \infty }\left\{\left[ \left( 1+ \frac{1}{ \frac{2n-3}{n+5} } \right)^{ \frac{2n-3}{n+5} }\right] ^{?} \cdot \left( 1+ \frac{1}{ \frac{2n-3}{n+5} } \right)^{?} \right\} }\)
W ostatnim etapie nie potrafię zbilansować potęg, tzn. przemnożyć potęgi \(\displaystyle{ \frac{2n-3}{n+5}}\) przez taki czynnik, aby dostać \(\displaystyle{ 5-n}\)
Czy ktoś ma może pomysł jak się z tym uporać? Dziękuję z góry za podpowiedź!