Problem z granicą ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
seyfert
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 19 paź 2006, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 7 razy

Problem z granicą ciągu

Post autor: seyfert » 9 paź 2019, o 12:30

Utknąłem przy próbie obliczenia granicy następującego ciągu:

\(\displaystyle{ a_{n} = \left( \frac{3n+2}{2n-3} \right)^{5-n}}\)

Próbowałem doprowadzić wyrażenie do granicy z "e", ale nic z tego nie wyszło.

Zacząłem od wnętrza nawiasu:

\(\displaystyle{ \frac{3n+2}{2n-3} = \frac{3n+2}{2n-3} - 1 + 1 = 1+ \frac{n+5}{2n-3} }\)

Następnie:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{3n+2}{2n-3} \right)^{5-n} = \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{1}{ \frac{2n-3}{n+5} } \right)^{5-n} =\lim_{n \to \infty }\left\{\left[ \left( 1+ \frac{1}{ \frac{2n-3}{n+5} } \right)^{ \frac{2n-3}{n+5} }\right] ^{?} \cdot \left( 1+ \frac{1}{ \frac{2n-3}{n+5} } \right)^{?} \right\} }\)

W ostatnim etapie nie potrafię zbilansować potęg, tzn. przemnożyć potęgi \(\displaystyle{ \frac{2n-3}{n+5}}\) przez taki czynnik, aby dostać \(\displaystyle{ 5-n}\)

Czy ktoś ma może pomysł jak się z tym uporać? Dziękuję z góry za podpowiedź!

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7171
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 205 razy
Pomógł: 2852 razy

Re: Problem z granicą ciągu

Post autor: kerajs » 9 paź 2019, o 12:34

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{3n+2}{2n-3} \right)^{5-n} =
\lim_{n \to \infty } \left( \frac{3+ \frac{2}{n} }{2-\frac{3}{n}} \right)^{5-n}=\left( \frac{3}{2} \right)^{- \infty } =0}\)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2273
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 679 razy

Re: Problem z granicą ciągu

Post autor: Janusz Tracz » 9 paź 2019, o 15:36

Próbowałem doprowadzić wyrażenie do granicy z "e"
Nie są spełnione założenia by powoływać się na:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{1}{a_n} \right)^{a_n}=e }\)

wszak równość ta zachodzi gdy \(\displaystyle{ a_n\to \infty }\) a Ty w roli \(\displaystyle{ a_n}\) chciałeś użyć \(\displaystyle{ \frac{2n-3}{n+5}\not\to \infty }\). Można inaczej do tego podejść, zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{3n+3}{2n-3}\to \frac{3}{2} }\) więc od pewnego progu \(\displaystyle{ N}\) prawdziwa jest na przykład nierówność \(\displaystyle{ \frac{3n+2}{2n-3} \ge 1+ \frac{1}{4} }\) dla każdego \(\displaystyle{ n>N}\). Podnosząc stronami do potęgi \(\displaystyle{ 5-n}\) dostajemy

\(\displaystyle{ 0\le \left( \frac{3n+2}{2n-3} \right)^{5-n} \le \left( 1+ \frac{1}{4} \right)^{5-n} \rightarrow 0 }\)

Z twierdzenia o trzech ciągach mamy to czego się spodziewaliśmy.

seyfert
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 19 paź 2006, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 7 razy

Re: Problem z granicą ciągu

Post autor: seyfert » 9 paź 2019, o 18:53

Dziękuję serdecznie obu Panom za rozwiązanie i wskazówki. Już teraz wiem czemu moja metoda była błędna.

ODPOWIEDZ