Monotoniczność ciągu

[Abstract]

Zbadać, czy podany ciąg jest monotoniczny od pewnego miejsca:
\(\displaystyle{ e_{1} = \sqrt{2}, e_{n+1} = \sqrt{2 + e_{n}}}\).

[szw1710]

Wskazówki:

1. Zauważ, że \(\sqrt{2}\leqslant e_n\leqslant 2\) dla każdego \(n\) (lewa nierówność trywialna, prawa do sprawdzenia przez indukcję).
2. Oblicz różnicę \(e_{n+1}-e_n\) ze wzoru na różnicę pierwiastków i zbadaj jej znak (metodą z II klasy liceum).

[Abstract]

1. Jeśli chodzi o indukcję na początek pokazuję, że nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ n = 1, \sqrt{2} \leqslant 2 }\).
Kolejno zakładam, że nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ n \geqslant 2}\).
\(\displaystyle{ e_{n} \leqslant 2}\)
Dodaję obustronnie liczbę 2: \(\displaystyle{ e_{n} + 2 \leqslant 4 }\)
Podnoszę do potęgi i podstawiam za lewą stronę: \(\displaystyle{ e_{n+1} \leqslant 2}\)

[Abstract]

2. Różnicę \(\displaystyle{ e_{n+1} - e_{n} }\) przedstawiam jako \(\displaystyle{ \sqrt{2 + e_{n}} - e_{n} }\) i mnożę przez:
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2 + e_{n}} + e_{n}}{ \sqrt{2 + e_{n}} + e_{n}}}\) i teraz mogę sprawdzić czy wynik jest mniejszy czy większy od zera, mianownik jest większy od zera więc sprawdzam licznik, kiedy \(\displaystyle{ e_{n} +2 - e_{n}^{2} > 0 }\) i rozwiązałem to równanie kwadratowe w wyniku czego mam, że \(\displaystyle{ e_{n} \in [-1,2] }\) czyli w przedziale gdzie mieszczą się liczby ciągu \(\displaystyle{ e_{n}}\).
.

[szw1710]

Teraz wyciągnij z tych rzeczy właściwe wnioski.

[janusz47]

Zbadamy monotoniczność i obliczymy granicę ciągu rekurencyjnego

\(\displaystyle{ \begin{cases} e_{1} = \sqrt{2} \\ e_{n+1}= \sqrt{2 + e_{n}} \end{cases} }\)

Dla lepszej orientacji wypiszmy trzy kolejne wyrazy tego ciągu:

\(\displaystyle{ e_{1} = \sqrt{2} }\)

\(\displaystyle{ e_{2} = \sqrt{2 +\sqrt{2}} }\)

\(\displaystyle{ e_{3} = \sqrt{2+ \sqrt{2 +\sqrt{2}}}. }\)

Pokażemy, indukcyjnie, że ciąg ten jest rosnący tzn. \(\displaystyle{ e_{n} < e_{n+1} }\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN. }\)

W tym celu wystarczy dowieść, że

\(\displaystyle{ (1) \ \ e_{1} < e_{2} }\)

\(\displaystyle{ (2) \ \ (e_{n} < e_{n+1}) \rightarrow (e_{n+1} < e_{n+2} ). }\)

\(\displaystyle{ (1) \ \ e_{1}= \sqrt{2} < \sqrt{2 +\sqrt{2}} = e_{2} }\) - oczywiste.

\(\displaystyle{ (2) \ \ e_{n+1} = \sqrt{2+ e_{n}}< \sqrt{2 + e_{n+1}}= e_{n+2}, \ \ e_{n+1}< e_{n+2}. }\)

Pokażemy indukcyjnie, że ciąg \(\displaystyle{ (e_{n}) }\) jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 2, }\) to znaczy

\(\displaystyle{ e_{n} < 2 }\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN }\)

\(\displaystyle{ (1) \ \ e_{1} = \sqrt{2} < 2 }\) - oczywiste

\(\displaystyle{ (2) \ \ (e_{n} < 2 ) \rightarrow (e_{n+1}< 2) }\)

\(\displaystyle{ e_{n+1} = \sqrt{2 +e_{n}} < \sqrt{2 + 2} = 2, \ \ e_{n+1}< 2. }\)

Skoro ciąg \(\displaystyle{ (e_{n}) }\) jest rosnący i ograniczony z góry, to jest zbieżny.

Oznaczmy jego granicę przez \(\displaystyle{ g. }\)

Mamy więc \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} e_{n} = g. }\)

Wtedy również \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} e_{n+1} = g. }\)

Zatem

\(\displaystyle{ g = \lim_{n\to \infty} e_{n+1} = \lim_{n\to \infty} \sqrt{2 + e_{n}} = \sqrt{2 + g}. }\)

\(\displaystyle{ g = \sqrt{2 +g } }\)

\(\displaystyle{ g^2 = 2 + g }\)

\(\displaystyle{ g^2 -g -2 = 0 }\)

\(\displaystyle{ g = 2. }\)

\(\displaystyle{ g = -1 }\) odrzucamy, bo \(\displaystyle{ g > 0. }\)