Zbadać czy podany ciąg jest ograniczony: \(\displaystyle{ d(n) = \sqrt[4]{n^4 + 4 }.}\)
Czy mogę zrobić to w ten sposób?
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{n^4 + 4 } < M\\
n^4 + 4 < M^4 \\
n^4 < M^4 - 4\\
n < \sqrt[4]{M-4}}\)
sprzeczność.
Ograniczoność ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 21 lut 2019, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
Ograniczoność ciągu
Ostatnio zmieniony 16 wrz 2019, o 23:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Ograniczoność ciągu
Na razie napisałeś trochę znaczków. Dopóki zdaniami w języku polskim nie napiszesz, co robisz i w jaki sposób wyciągasz wnioski, to nie będzie to uzasadnienie, tylko właśnie trochę znaczków.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 21 lut 2019, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
Re: Ograniczoność ciągu
1.Na początek korzystając z definicji ciągu ograniczonego z góry(bo na razie zajmuje się ograniczeniem górnym) zakładam, że ciąg ten ma jakieś ograniczenie i nazywam je \(\displaystyle{ M}\).
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{n^4 + 4} < M }\)
2. Podnoszę do potęgi czwartej obustronnie.
\(\displaystyle{ n^4 + 4 < M^4 }\)
3. Następnie po odjęciu stronami i wyciągnięcia pierwiastka mam:
\(\displaystyle{ n < \sqrt[4]{M^4 - 4}}\)
I tutaj powołuje się na zasadę Archimedesa która mówi że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) istnieje liczna naturalna \(\displaystyle{ n}\), taka że \(\displaystyle{ n > x }\).
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{n^4 + 4} < M }\)
2. Podnoszę do potęgi czwartej obustronnie.
\(\displaystyle{ n^4 + 4 < M^4 }\)
3. Następnie po odjęciu stronami i wyciągnięcia pierwiastka mam:
\(\displaystyle{ n < \sqrt[4]{M^4 - 4}}\)
I tutaj powołuje się na zasadę Archimedesa która mówi że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) istnieje liczna naturalna \(\displaystyle{ n}\), taka że \(\displaystyle{ n > x }\).
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Ograniczoność ciągu
Teraz lepiej. To poprawne rozumowanie, choć wypadałoby dodać, że zakładasz nie wprost istnienie pewnego ograniczenia dodatniego \(\displaystyle{ M}\) (inaczej nie będziesz mógł podnieść do czwartej potęgi) ciągu \(d_n\), czyli że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność \(\sqrt[4]{n^4 + 4} < M\).
JK
PS
Sprzeczność możesz też uzyskać bez powoływania się na ogólną zasadę, biorąc \(n=\left[\sqrt[4]{M^4 - 4}\right]+1\).
JK
PS
Sprzeczność możesz też uzyskać bez powoływania się na ogólną zasadę, biorąc \(n=\left[\sqrt[4]{M^4 - 4}\right]+1\).