Ograniczoność ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Abstract
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 21 lut 2019, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Ograniczoność ciągu

Post autor: Abstract »

Zbadać czy podany ciąg jest ograniczony: \(\displaystyle{ d(n) = \sqrt[4]{n^4 + 4 }.}\)
Czy mogę zrobić to w ten sposób?

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{n^4 + 4 } < M\\
n^4 + 4 < M^4 \\
n^4 < M^4 - 4\\
n < \sqrt[4]{M-4}}\)


sprzeczność.
Ostatnio zmieniony 16 wrz 2019, o 23:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Ograniczoność ciągu

Post autor: Jan Kraszewski »

Na razie napisałeś trochę znaczków. Dopóki zdaniami w języku polskim nie napiszesz, co robisz i w jaki sposób wyciągasz wnioski, to nie będzie to uzasadnienie, tylko właśnie trochę znaczków.

JK
Abstract
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 21 lut 2019, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Re: Ograniczoność ciągu

Post autor: Abstract »

1.Na początek korzystając z definicji ciągu ograniczonego z góry(bo na razie zajmuje się ograniczeniem górnym) zakładam, że ciąg ten ma jakieś ograniczenie i nazywam je \(\displaystyle{ M}\).
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{n^4 + 4} < M }\)
2. Podnoszę do potęgi czwartej obustronnie.
\(\displaystyle{ n^4 + 4 < M^4 }\)
3. Następnie po odjęciu stronami i wyciągnięcia pierwiastka mam:
\(\displaystyle{ n < \sqrt[4]{M^4 - 4}}\)
I tutaj powołuje się na zasadę Archimedesa która mówi że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) istnieje liczna naturalna \(\displaystyle{ n}\), taka że \(\displaystyle{ n > x }\).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Ograniczoność ciągu

Post autor: Jan Kraszewski »

Teraz lepiej. To poprawne rozumowanie, choć wypadałoby dodać, że zakładasz nie wprost istnienie pewnego ograniczenia dodatniego \(\displaystyle{ M}\) (inaczej nie będziesz mógł podnieść do czwartej potęgi) ciągu \(d_n\), czyli że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność \(\sqrt[4]{n^4 + 4} < M\).

JK

PS
Sprzeczność możesz też uzyskać bez powoływania się na ogólną zasadę, biorąc \(n=\left[\sqrt[4]{M^4 - 4}\right]+1\).
ODPOWIEDZ