Udowodnić z definicji, że ciąg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ \frac{1}{-n}}\) ma granicę \(\displaystyle{ 0}\).
Z definicji granicy ciągu wiemy, że jeżeli dla każdego dodatniego \(\displaystyle{ \epsilon}\) od pewnego miejsca (dla \(\displaystyle{ n > N}\)) zachodzi \(\displaystyle{ \left| a_n - g\right| < \epsilon}\)
wystarczy więc wykazać, że dla każdego epsilon dodatniego od pewnego momentu zachodzi: \(\displaystyle{ \left|- \frac{1}{n} - 0\right| < \epsilon}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) zatem możemy to prosto przekształcić do:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} < \epsilon}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\epsilon} < n}\)
Więc, gdy weźmiemy \(\displaystyle{ N = \frac{1}{\epsilon}}\), to dla każdego takiego \(\displaystyle{ n > N}\) nierówność jest spełniona w sposób oczywisty, a to należało wykazać.
Dobrze?
Granica ciągu z definicji
-
Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Granica ciągu z definicji
Dobrze. Schludna wersja tego dowodu przebiegałaby jakoś tak:
Dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_n = n^{-1}}\). Pokażemy, że jego granicą jest \(\displaystyle{ g = 0}\). Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) i zdefiniujmy \(\displaystyle{ N_\varepsilon = \varepsilon^{-1}}\). Dla każdego \(\displaystyle{ n > N}\) mamy
\(\displaystyle{ |a_n - g| = \left|\frac{-1}{n} - 0 \right| = \frac 1n < \frac 1N = \varepsilon}\),
więc liczba \(\displaystyle{ g}\) spełnia definicją granicy ciągu \(\displaystyle{ a_n}\).
(czyli to, co napisałeś Ty, ale od końca. Chodzi o to, żeby każdy krok wynikał z poprzedniego, a nie następnego).
Dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_n = n^{-1}}\). Pokażemy, że jego granicą jest \(\displaystyle{ g = 0}\). Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) i zdefiniujmy \(\displaystyle{ N_\varepsilon = \varepsilon^{-1}}\). Dla każdego \(\displaystyle{ n > N}\) mamy
\(\displaystyle{ |a_n - g| = \left|\frac{-1}{n} - 0 \right| = \frac 1n < \frac 1N = \varepsilon}\),
więc liczba \(\displaystyle{ g}\) spełnia definicją granicy ciągu \(\displaystyle{ a_n}\).
(czyli to, co napisałeś Ty, ale od końca. Chodzi o to, żeby każdy krok wynikał z poprzedniego, a nie następnego).
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7916
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Granica ciągu z definicji
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left(-\frac{1}{n}\right) = 0}\)
Aby przekonać się o prawdziwości tego równania. wystarczy przyjąć, że \(\displaystyle{ n_{\epsilon}}\) jest dowolną całkowitą większą niż \(\displaystyle{ \frac{1}{\epsilon}.}\)
Można więc przyjąć \(\displaystyle{ n_{1}= 2 \ \ n_{\frac{1}{2}}= 3, \ \ n_{0,41} = 3.}\)
Można też powiększyć niektóre z tych liczb i przyjąć \(\displaystyle{ n_{1} = 11, \ \ n_{\frac{1}{2}}= 206, \ \ n_{0,41}= 3.}\). Innymi słowy liczbę \(\displaystyle{ n_{\epsilon}}\) można zawsze zastąpić większą.
Aby przekonać się o prawdziwości tego równania. wystarczy przyjąć, że \(\displaystyle{ n_{\epsilon}}\) jest dowolną całkowitą większą niż \(\displaystyle{ \frac{1}{\epsilon}.}\)
Można więc przyjąć \(\displaystyle{ n_{1}= 2 \ \ n_{\frac{1}{2}}= 3, \ \ n_{0,41} = 3.}\)
Można też powiększyć niektóre z tych liczb i przyjąć \(\displaystyle{ n_{1} = 11, \ \ n_{\frac{1}{2}}= 206, \ \ n_{0,41}= 3.}\). Innymi słowy liczbę \(\displaystyle{ n_{\epsilon}}\) można zawsze zastąpić większą.