Problem z obliczeniem granicy

[Mondo]

Mam do policzenia taką granicę szeregu:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (1+n^{2})^{ \frac{1}{\ln (n)} } = L}\)

moja próba rozwiązania (niestety otrzymuję błędny wynik):

Najpierw nakładam logarytm naturalny:

\(\displaystyle{ \ln (L) = \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{\ln (n)} \cdot \lim_{ n\to \infty } \ln (1+n^{2})}\)

Pierwszy limit \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{\ln (n)}}\) dąży do zera.
Drugi limit \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \ln (1+n^{2})}\) do nieskonczoności
Więc mamy sytuację: \(\displaystyle{ \ln (L) = 0 \cdot \infty = \ln (L) = 0 \Rightarrow L = e^{\ln (L)} = e^{0} = 1}\)

Gdzie popełniam błąd?

[janusz47]

\(\displaystyle{ f(x) = (1 +x^2)^{\frac{1}{\ln(x)}}.}\)

Zapisujemy jako \(\displaystyle{ e^{\ln(f(x))}.}\)

Stosujemy regułę \(\displaystyle{ H.}\)

[Premislav]

Więc mamy sytuację:\(\displaystyle{ \ln(L) = 0 * \infty = ln(L) = 0 \Rightarrow L = e^{ln(L)} = e^{0} = 1}\)

Co proszę? Coś bardzo mieszasz…

W ogóle de l'Hospitala stosujemy do granic funkcji, a nie ciągów, tutaj trzeba by jeszcze trochę skomentować, żeby takie podejście było OK (można skorzystać z definicji Heinego granicy funkcji).
Prościej jest tak:
\(\displaystyle{ e^2=n^{ \frac{2}{\ln n} }\le \left( 1+n^2\right)^{\frac{1}{\ln n}}\le (n^2+n^2)^{\frac {1}{\ln n}}=2^{\frac{1}{\ln n}}e^2\stackrel{n\to \infty}\longrightarrow e^2}\)
i tw. o trzech ciągach załatwia sprawę.

[Dasio11]

Najpierw nakładam logarytm naturalny:

\(\displaystyle{ \ln (L) = \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{\ln (n)} \cdot \lim_{ n\to \infty } \ln (1+n^{2})}\)

Rozbić granicę iloczynu na iloczyn granic możesz tylko wtedy, gdy obie z tych granic (które chcemy pomnożyć) istnieją i są właściwe. Przymrużając oko, można to zrobić również wtedy, gdy prowadzi to do wyrażenia oznaczonego, na przykład dopuszczalny jest zapis:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n \cdot \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} = \infty \cdot \infty = \infty.}\)

Jednak w Twoim przypadku otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty}\), dlatego rozbicie granicy iloczynu na iloczyn granic jest błędem.

Poza tym mam wątpliwości co do operacji "nakładania logarytmu naturalnego". Jeśli dla dwóch dodatnich liczb rzeczywistych wiesz, że zachodzi równość \(\displaystyle{ a = b}\), to możesz stwierdzić, że \(\displaystyle{ \ln a = \ln b}\). Ale Ty próbujesz tę operację zastosować do równości \(\displaystyle{ L = \lim_{n \to \infty} (*)}\), nie wiedząc jeszcze, czy granica istnieje ani czy jest liczbą dodatnią - dlatego to przejście też jest niepoprawne.

Więc mamy sytuację: \(\displaystyle{ \ln (L) = 0 \cdot \infty = \ln (L) = 0}\)

O tym już było wcześniej, ale podkreślę raz jeszcze: nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty = 0}\) (w sensie arytmetyki granic).

[Mondo]

\(\displaystyle{ f(x) = (1 +x^2)^{\frac{1}{\ln(x)}}.}\)

Zapisujemy jako \(\displaystyle{ e^{\ln(f(x))}.}\)

janusz47, a dlaczego ten proponowany przez ciebie zapis jest lepszy od mojego? Wydaje się to być mniej więcej to samo.

Stosujemy regułę \(\displaystyle{ H.}\)

Dzieki za tę lakoniczną sugestię .Faktycznie z regułą l'hospital dałem radę policzyć.

Premislav

Więc mamy sytuację:\(\displaystyle{ \ln(L) = 0 * \infty = ln(L) = 0 \Rightarrow L = e^{ln(L)} = e^{0} = 1}\)

Co proszę? Coś bardzo mieszasz…

Obłożyłem obie strony równania logarytmem po to by uprościc to wyrażenie, a mówiąc ściślej korzystając w własności logarytmów zamienić te potęgę na iloczyn. Co konkretnie uważasz, że jest nie tak?

W ogóle de l'Hospitala stosujemy do granic funkcji, a nie ciągów, tutaj trzeba by jeszcze trochę skomentować, żeby takie podejście było OK

Tak wiem, a jakie założenia należało by dodać? Fakt potraktowałem ten szereg jak funkcję, gdzyż wszystko tutaj zachowuje się jak funkcja, n rośnie stale i każdy element z zboru X ma jedno i tylko jedno odwzorowanie w Y. Wystarczy?

Prościej jest tak:
\(\displaystyle{ e^2=n^{ \frac{2}{\ln n} }\le \left( 1+n^2\right)^{\frac{1}{\ln n}}\le (n^2+n^2)^{\frac {1}{\ln n}}=2^{\frac{1}{\ln n}}e^2\stackrel{n\to \infty}\longrightarrow e^2}\)
i tw. o trzech ciągach załatwia sprawę.

Wszystko super, tylko nie podoba mi się to, że od razu jakimś cudem *zgadujesz* ciagi graniczne (\(\displaystyle{ e^{2}}\)) który jest faktycznie poprawną granicą tego szeregu. Jak wyznaczyłeś ograniczający ciąg z lewej strony?

Jednak w Twoim przypadku otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone , dlatego rozbicie granicy iloczynu na iloczyn granic jest błędem.

Czy faktycznie był to błąd? Być może po prostu powiniem dalej kontynuować obliczenia stosując regułę dla wyrażenia nieoznacoznego postaci \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty}\)?

Poza tym mam wątpliwości co do operacji "nakładania logarytmu naturalnego"

"nakładania logarytmu naturalnego", czułem, że źle to nazywam, jak nazwać tę oprację poprawnie?

Ty próbujesz tę operację zastosować do równości , nie wiedząc jeszcze, czy granica istnieje ani czy jest liczbą dodatnią

Więc jak powinienem wyznaczyć tę granicę w sposób poprawny?

[Jan Kraszewski]

janusz47, a dlaczego ten proponowany przez ciebie zapis jest lepszy od mojego? Wydaje się to być mniej więcej to samo.

Dasio11 starał się wytłumaczyć Ci to.

W ogóle de l'Hospitala stosujemy do granic funkcji, a nie ciągów, tutaj trzeba by jeszcze trochę skomentować, żeby takie podejście było OK

Tak wiem, a jakie założenia należało by dodać? Fakt potraktowałem ten szereg jak funkcję, gdzyż wszystko tutaj zachowuje się jak funkcja, n rośnie stale i każdy element z zboru X ma jedno i tylko jedno odwzorowanie w Y. Wystarczy?

No skąd. Reguła de l'Hospitala dotyczy funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej, a nie zmiennej naturalnej. Tu nie chodzi o opowiedzenie, co zrobiłeś, tylko o uzasadnienie tego.

JK

PS
To nie jest szereg, tylko ciąg.

[Premislav]

Tak wiem, a jakie założenia należało by dodać? Fakt potraktowałem ten szereg jak funkcję, gdzyż wszystko tutaj zachowuje się jak funkcja, \(\displaystyle{ n}\) rośnie stale i każdy element z zboru \(\displaystyle{ X}\) ma jedno i tylko jedno odwzorowanie w \(\displaystyle{ Y}\). Wystarczy?

Należałoby rozważyć funkcję
\(\displaystyle{ f: \RR^+\rightarrow \RR^+}\) zadaną wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=\left( 1+x^2\right)^{\frac{1}{\ln x}}}\)
czy już wygodniej zapisując,
\(\displaystyle{ f(x)=e^{ \frac{\ln(1+x^2)}{\ln x} }}\)
Z de l'Hospitala obliczamy
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+x^2)}{\ln x}}\),
następnie korzystamy np. z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie \(\displaystyle{ g\in \RR}\), by uzasadnić, że jeśli
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} g(x)=g}\), to \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}e^{g(x)}=e^{g}}\).
Wreszcie, to też z definicji Heinego granicy funkcji, orzekamy, że skoro obliczyliśmy granicę funkcji w \(\displaystyle{ \infty}\) i wynosi ona \(\displaystyle{ e^2}\), to granica ciągu w \(\displaystyle{ \infty}\) będzie taka sama (to, że granica funkcji w \(\displaystyle{ +\infty}\) wynosi \(\displaystyle{ e^2}\) oznacza, z uwagi na definicję Heinego granicy funkcji, że dla dowolnego ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) dążącego do \(\displaystyle{ +\infty}\) ta granica ciągu:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f(x_n)}\) będzie taka sama, jak i granica funkcji, wystarczy wziąć \(\displaystyle{ x_n=n}\)).
Oczywiście ciąg jest w szczególności funkcją (której dziedziną jest \(\displaystyle{ \NN}\)), nawet ciągłą (choć to trochę może nieintuicyjne, to łatwo wynika z zastosowania definicji ciągłości), ale pojęcie pochodnej (które jest nieodzowne do zastosowania tw. de l'Hospitala) nie ma sensu dla ciągu.

Jak wyznaczyłeś ograniczający ciąg z lewej strony?

To kwestia doświadczenia w rozwiązywaniu zadań (z grubsza chodzi o to, że wyrażenie, które potęgujemy, zachowuje się dla dużych \(\displaystyle{ n}\) jak \(\displaystyle{ n^2=e^{2\ln n}}\), bo dla dużych \(\displaystyle{ n}\) jedynka w porównaniu do \(\displaystyle{ n^2}\) ma znikome znaczenie i tu już się rzuca w oczy granica, ale to mało ścisłe), no i trochę metoda prób i błędów (dla początkujących raczej niepolecana, bo można stracić masę czasu na nietrafnym próbowaniu)

[a4karo]

No i trudno nie skomentować tego

\(\displaystyle{ \ln (L) = \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{\ln (n)} \cdot \lim_{ n\to \infty } \ln (1+n^{2})}\)

Pierwszy limit \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{\ln (n)}}\) dąży do zera.
Drugi limit \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \ln (1+n^{2})}\) do nieskonczoności

Po pierwsze: jest takie ładne polskie słowo "granica".

Po drugie: te granice do niczego nie dążą. One są, albo ich nie ma. Dąży do czegoś wyrażenie, którego granicę obliczany.

[Dasio11]

Czy faktycznie był to błąd? Być może po prostu powiniem dalej kontynuować obliczenia stosując regułę dla wyrażenia nieoznacoznego postaci \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty}\)?

Oczywiście masz prawo napisać \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1+n^2)}{\ln n} = \ldots}\) i kontynuować obliczenia. Ale w momencie, kiedy napiszesz \(\displaystyle{ \ldots = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln n} \cdot \lim_{n \to \infty} \ln(1+n^2)}\), formalnie jest to błąd.

Przyczyna jest prosta: ma sens liczenie granicy ciągu \(\displaystyle{ \frac{\ln(1+n^2)}{\ln n}}\). Z lekkim przymrużeniem oka, miałoby to sens nawet wtedy, gdyby granica nie istniała - obliczenia traktujemy wtedy jako proces dowodzenia nieistnienia tej granicy. Natomiast nie ma sensu mnożenie granicy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln n}}\) przez granicę \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \ln(1+n^2)}\), bo formalnie - drugi z mnożonych obiektów nie istnieje, a z przymrużeniem oka - dostajemy wyrażenie nieoznaczone \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty}\), które z punktu widzenia arytmetyki granic jest niewykonalne.

"nakładania logarytmu naturalnego", czułem, że źle to nazywam, jak nazwać tę oprację poprawnie?

W samej nazwie nie ma nic złego, ale poprawność zastosowania przez Ciebie tej operacji była matematycznie wątpliwa.

Więc jak powinienem wyznaczyć tę granicę w sposób poprawny?

Oba rozwiązania Premislava są poprawne. Zamiast reguły de l'Hospitala mogę jeszcze zaoferować twierdzenie Stolza:

\(\displaystyle{ {\lim_{n \to \infty} \frac{\ln \big( 1+(n+1)^2 \big) - \ln(1+n^2)}{\ln(n+1) - \ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln \left( \frac{n^2+2n+2}{n^2+1} \right)}{\ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right)} \stackrel{(*)}{=} \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2+2n+2}{n^2+1} - 1}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(2n+1)}{n^2+1} = 2}.}\)

W przejściu \(\displaystyle{ (*)}\) korzystamy z faktu, że jeśli \(\displaystyle{ a_n \to 1}\), to

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln a_n}{a_n - 1} = 1}\).

Konkretniej, zaczynamy od wyrażenia \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln a_n}{\ln b_n}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_n, b_n \to 1}\). Przekształcamy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln a_n}{\ln b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln a_n}{a_n-1} \cdot \frac{b_n - 1}{\ln b_n} \cdot \frac{a_n-1}{b_n-1}}\)

a następnie stwierdzamy, że dwa pierwsze czynniki dążą do \(\displaystyle{ 1}\) na mocy przytoczonego faktu, więc nie mają wpływu na istnienie i wartość granicy. Mamy więc

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln a_n}{\ln b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n-1}{b_n-1},}\)

co kończy uzasadnienie \(\displaystyle{ (*)}\).

[Mondo]

No skąd. Reguła de l'Hospitala dotyczy funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej, a nie zmiennej naturalnej. Tu nie chodzi o opowiedzenie, co zrobiłeś, tylko o uzasadnienie tego.

Oczywiście ciąg jest w szczególności funkcją (której dziedziną jest \(\displaystyle{ \NN}\)), nawet ciągłą (choć to trochę może nieintuicyjne, to łatwo wynika z zastosowania definicji ciągłości)

Cenna uwaga, dziekuję.
Zastanawiam się jakie bedą różnice w tym ciagu jeśli zmienimy dziedzienę z liczb naturalnych na rzeczywiste. Czy nie powinnismy założyć naszej dziedziny jako \(\displaystyle{ > 0}\)? Chociazby zastosowana wlasnosc logarytmu \(\displaystyle{ \ln (x^{y}) = y \cdot \ln (x)}\) tego wymaga, zgadza sie?
Czy było by OK gdybym przyjął, że traktuję ten ciag jako funkcje o zmiennej rzeczywistej? Zakładając, że bedzie sie ona zachowywać tak samo dla liczb rzeczywistych i naturalnych?
Zdaje się, że @Janusz w swojej pierwsze odpowiedzi zrobił dokładnie takie samo założenie:

\(\displaystyle{ f(x) = (1 +x^2)^{\frac{1}{\ln (x)}}.}\)

i tu już się rzuca w oczy granica, ale to mało ścisłe

Tak teraz rozumiem, twoje podejście, ma to sens.

Oczywiście masz prawo napisać \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln (1+n^2)}{\ln n} = \ldots}\) i kontynuować obliczenia. Ale w momencie, kiedy napiszesz \(\displaystyle{ \ldots = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln n} \cdot \lim_{n \to \infty} \ln (1+n^2)}\), formalnie jest to błąd.

Myślę, że rozumiem natomiast w tych moich obliczeniach ja dochodze do tej samej postaci \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln (1+n^2)}{\ln n}}\) tyle tylko, że dojście do tego stanu rozbijam na dwa etapy.
W pierwszym nakładam logarytm naturalny na obie strony rownania:
\(\displaystyle{ \ln (\lim_{ n\to \infty } (1+n^{2})^{ \frac{1}{\ln (n)} }) = \ln (L)
= \ln (n)^{-1} \cdot \ln (1+n^{2})}\)
I teraz dzialajac funkcja wykladnicza:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (1+n^{2})^{ \frac{1}{\ln (n)} } = L
= e^{\ln (n)^{-1}} \cdot e^{\ln (1+n^{2})} = e^{ \frac{\ln (1+n^{2})}{\ln (n)^{-1}} }}\)

Chodź teraz jest chyba ok, wcześniej pisałem granicę przy każdym czynniku z prawej strony równania co było błedem.

Nie od razu widzę to, że \(\displaystyle{ f(x) = (1 +x^2)^{\frac{1}{\ln (x)}} = e^{ \frac{\ln (1+x^2)}{\ln x} }}\). Z jakiej innej własności tutaj korzystacie? Ja oparlem sie (co widać w obliczeniach kilka lini wyzej) z \(\displaystyle{ \ln (x^{y}) = y \cdot \ln (x)}\)

[a4karo]

To może tak (co zresztą zostało już parę razy wspomniane, ale nigdzie do końca)

Zamiast szukaj granicy wyrażenia \(\displaystyle{ (1+n^2)^{1/\ln n}}\) obliczymy granicę jego logarytmu, czyli
\(\displaystyle{ \frac{\ln(1+n^2)}{\ln n}}\) (to brzmi ładniej niż "obłożenie logarytmem")

Mamy
\(\displaystyle{ 2=\frac{\ln n^2}{\ln n}<\red{ \frac{\ln(1+n^2)}{\ln n}}<\frac{\ln (2n^2)}{\ln n}=2+\frac{\ln 2}{\ln n}\to 2}\)

Z ciągłości funkcji logarytmicznej wynika, że granicą wyjściowego wyrażenia jest \(\displaystyle{ e^2}\)

[Dasio11]

Z ciągłości funkcji logarytmicznej wynika, że granicą wyjściowego wyrażenia jest \(\displaystyle{ e^2}\)

Poprawka: z ciągłości funkcji wykładniczej.

[Mondo]

Poprawka: z ciągłości funkcji wykładniczej.

a4karo, Dasio11 ale trzeba by było także zapisać iż my policzyliśmy granicę logarytmu funkcji więc granica samej funkcji to:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \ln(fx) = 2 \rightarrow \lim_{x \to \infty} fx = e^{2}}\)

zgadza się?

Wracam, także do mojego pytania z wcześniejszego postu o dziedzinę. Czy jeśli traktujemy ten ciag jak funkcję zmiennej rzeczywistej to nie powinnismy zrobić tego dla \(\displaystyle{ x > 0}\)?

[Jan Kraszewski]

Czy jeśli traktujemy ten ciag jak funkcję zmiennej rzeczywistej

Nie traktujesz ciągu jako funkcji zmiennej rzeczywistej, tylko rozpatrujesz pomocniczą funkcję rzeczywistą zmiennej rzeczywistej.

to nie powinnismy zrobić tego dla \(\displaystyle{ x > 0}\)?

Ta funkcja pomocnicza istotnie jest określona na półprostej dodatniej, co zresztą zostało wcześniej powiedziane:

Należałoby rozważyć funkcję
\(\displaystyle{ f: \RR^+\rightarrow \RR^+}\) zadaną wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=\left( 1+x^2\right)^{\frac{1}{\ln x}}}\)
czy już wygodniej zapisując,
\(\displaystyle{ f(x)=e^{ \frac{\ln(1+x^2)}{\ln x} }}\)

edit: dokładniej, trzeba wykluczyć \(\displaystyle{ x=1}\), więc lepiej przyjąć \(\displaystyle{ f:(1,+\infty)\to(0,+\infty)}\).

JK