Ciąg ograniczony w zależności od parametru

[Bourder]

Dzień dobry, mam problem z następującym zadaniem:

Dla jakich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ p>1}\) ciąg

\(\displaystyle{ \sqrt{n^{p}+n+1}-\sqrt{n^{p}-n+1}}\)

jest ograniczony?

Po pomnożeniu licznika i mianownika przez sprzężenie ciąg ten przyjmuje postać:

\(\displaystyle{ \frac{2n}{\sqrt{n^{p}+n+1}+\sqrt{n^{p}-n+1}},}\)

a ten po podzieleniu licznika i mianownika przez \(\displaystyle{ n}\):

\(\displaystyle{ \frac{2}{\sqrt{n^{p-2}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}+\sqrt{n^{p-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}}.}\)

Przyjmując \(\displaystyle{ p=2}\) ciąg ten jest zbieżny do \(\displaystyle{ 1,}\) więc ograniczony.

Dla \(\displaystyle{ p>2}\) ciąg ten jest zbieżny do zera, więc również jest ograniczony (oczywiście mogę się mylić co do tych granic).

Problem pojawia się dla \(\displaystyle{ p<2.}\) Mógłby ktoś zaproponować rozumowanie w tym przypadku?

[Janusz Tracz]

Dla \(\displaystyle{ p\in\left( 1,2\right)}\) ciąg jest rozbieżny czyli nie jest ograniczony. Wynika to na przykład z asymptotycznego oszacowania

Gdy \(\displaystyle{ p\in\left( 1,2\right)}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{n^{p}+n+1}+\sqrt{n^{p}-n+1}\sim 2\sqrt{n^p}}\)

[Premislav]

Dla \(\displaystyle{ p\in(1,2)}\) ten ciąg nie jest ograniczony, gdyż wówczas
\(\displaystyle{ 2^{\frac p 2} n^{\frac p 2} > \sqrt{n^p+1}= \sqrt{ \frac{n^p+n+1+n^2-n+1}{2} } > \frac{\sqrt{n^{p}+n+1}+\sqrt{n^{p}-n+1}}{2}}\), a więc
\(\displaystyle{ \frac{2n}{\sqrt{n^{p}+n+1}+\sqrt{n^{p}-n+1}}>\frac{n^{1-\frac p 2}}{2^{\frac p 2}}}\)
Nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{n^p+n+1+n^2-n+1}{2} } > \frac{\sqrt{n^{p}+n+1}+\sqrt{n^{p}-n+1}}{2}}\) wynika z nierówności między średnią kwadratową a arytmetyczną (równość nie zajdzie, gdyż \(\displaystyle{ n^p-n+1\neq n^p+n+1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\), ale to akurat nie ma znaczenia), a nierówność
\(\displaystyle{ 2^{\frac p 2}n^{\frac p 2}> \sqrt{n^p+1}}\) jest w miarę oczywista, ostatecznie do kwadratu stronami i coś tam spałować.

[Janusz Tracz]

Albo jawne można szacować gdy \(\displaystyle{ p\in\left( 1,2\right)}\) to:

\(\displaystyle{ \sqrt{n^{p}+n+1}+\sqrt{n^{p}-n+1} \le 2\sqrt{3 \cdot n^p}}\)

zatem

\(\displaystyle{ \frac{2n}{ 2\sqrt{3 \cdot n^p}} \le \frac{2n}{\sqrt{n^{p}+n+1}+\sqrt{n^{p}-n+1}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{n^{1- \frac{p}{2} }}{ \sqrt{3}} \le \frac{2n}{\sqrt{n^{p}+n+1}+\sqrt{n^{p}-n+1}}}\)

zauważmy, ze \(\displaystyle{ 1- \frac{p}{2}>0}\) zatem lewa strona dąży do \(\displaystyle{ \infty}\) wraz z \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\). Zatem lewa strona tym bardziej.

[Bourder]

Dziękuję, teraz rozumiem.