Własność Ciągu

[mol_ksiazkowy]

Dany jest ciąg
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 = 1 \\ x_{2n} = 1+x_n \\ x_{2n+1} = \frac{1}{x_{2n}}\end{cases}}\)
Czy jest możliwym \(\displaystyle{ x_n = x_m}\) dla \(\displaystyle{ n \neq m}\) ?

[Premislav]

Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ x_n=x_m}\) dla pewnego \(\displaystyle{ m\neq n}\). Możemy wybrać \(\displaystyle{ m,n}\) takie, że suma \(\displaystyle{ m+n}\) ma minimalną wartość (zasada minimum). Przedstawmy \(\displaystyle{ n=2^{k_1}(2l_1+1), \ m=2^{k_2}(2l_2+1)}\)
(uznajmy za oczywiste, że taka reprezentacja jest jednoznaczna), gdzie \(\displaystyle{ k_i, l_i\in \NN}\).
Mamy wtedy
\(\displaystyle{ x_n=x_{2l_1+1}+k_1, \ x_m=x_{2l_2+1}+k_2}\)
Odnotujmy, że nie może być \(\displaystyle{ k_1=k_2}\).
Istotnie, jeśli \(\displaystyle{ k_1=k_2>0}\), to z powyższej równości mamy
\(\displaystyle{ x_{2l_1+1}=x_{2l_2+1}}\), lecz
\(\displaystyle{ 2l_1+1+2l_2+1<2^{k_1}(2l_1+1+2l_2+1)\\=2^{k_1}(2l_1+1)+2^{k_2}(2l_2+1)=n+m}\)
a to jest sprzeczność z założeniem o minimalności sumy indeksów.
Jeśli natomiast \(\displaystyle{ k_1=k_2=0}\), to
\(\displaystyle{ \frac{1}{x_{2l_1}}=x_{2l_1+1}=x_{2l_2+1}=\frac{1}{x_{2l_2}}}\),
czyli
\(\displaystyle{ x_{2l_1}=x_{2l_2}}\), ale \(\displaystyle{ 2l_1+2l_2<2l_1+1+2l_2+1=n+m}\),
znów sprzeczność z założeniem o minimalności.
Teraz dla ustalenia uwagi niech \(\displaystyle{ k_1>k_2}\), wtedy
z \(\displaystyle{ x_n=x_m}\) mamy
\(\displaystyle{ x_{2^{k_1-k_2}(2l_1+1)}=x_{2l_2+1}}\),
lecz
\(\displaystyle{ 2^{k_1-k_2}(2l_1+1)+2l_2+1<2^{k_1}(2l_1+1)+2^{k_2}(2l_2+1)}\)
Otrzymana sprzeczność kończy dowód.-- 8 cze 2019, o 21:41 --Jakby ktoś się chciał czepiać, z założenia nie wprost wynika, że zbiór
\(\displaystyle{ \left\{ k\in \NN: (\exists m\in \NN)(\exists n\in \NN)(n\neq m \wedge x_n=x_m \wedge k=n+m)\right\}}\)
jest niepustym podzbiorem \(\displaystyle{ \NN}\), więc z zasady minimum ma element najmniejszy.

[Dasio11]

Masz blefa.

Każdy wyraz ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) ma swoją rekurencyjną genealogię, w której relacja między przodkiem i potomkiem to zawsze \(\displaystyle{ x \mapsto x+1}\) albo \(\displaystyle{ x \mapsto \frac{1}{x}}\). Powyżej jest dowiedzione, że jeśli \(\displaystyle{ x_n = x_m}\) i ostatnia relacja w genealogii \(\displaystyle{ x_n}\) jest tego samego rodzaju co ostatnia relacja w genealogii \(\displaystyle{ x_m}\), to parę taką że \(\displaystyle{ x_{n'} = x_{m'}}\) można odnaleźć już wcześniej, cofając się do bezpośrednich przodków. Brakuje jednak najciekawszego przypadku, kiedy ostatnie relacje są różnych typów.

[Premislav]

Faktycznie, może być \(\displaystyle{ k_1=0}\) i \(\displaystyle{ k_2\neq 0}\) albo na odwrót i wtedy nierówności z ostatniego przypadku są nieprawdziwe. Do niczego to wszystko, jak zwykle.

Ale jeśli dla pewnych \(\displaystyle{ p,q\in \NN}\) mamy
\(\displaystyle{ x_{2p}=x_{2q+1}}\) (bo tylko w takim przypadku załamywałoby się moje rozumowanie), tj. z zależności rekurencyjnych \(\displaystyle{ 1+x_p=\frac{1}{x_{2q}}=\frac{1}{1+x_q}}\), czyli
\(\displaystyle{ \frac{x_{q}}{1+x_{q}}=-x_p}\),
a z określenia ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) wynika, że wszystkie jego wyrazy są dodatnie (formalnie można to załatwić jakąś indukcją, ale to intuicyjnie oczywiste), więc powyższe prowadzi do sprzeczności.

[mol_ksiazkowy]

Dowolna liczba wymierna \(\displaystyle{ q>0}\) jest wyrazem tego ciągu.