Nierówność dla ciągu

[mol_ksiazkowy]

Skonstruować ciąg ograniczony, w którym \(\displaystyle{ |x_n - x_m | > \frac{1}{n-m},}\) o ile \(\displaystyle{ n \neq m.}\)

[Premislav]

Bump. Istnienie takiego ciągu zupełnie przeczy pewnym moim intuicjom, dlatego chciałbym go zobaczyć.

[a4karo]

Proszę bardzo :
\(\displaystyle{ x_n=(0,0,\dots,0,1,0,\dots)}\) ( z jedynką na \(\displaystyle{ n}\)-tym miejscu) jest ograniczony w \(\displaystyle{ l_1}\) i \(\displaystyle{ |x_n-x_m|=2}\)

[Dasio11]

Wystarczy znaleźć ciąg ograniczony i taki, że \(\displaystyle{ | x_m - x_n | \ge \frac{1}{4(m-n)}}\) dla \(\displaystyle{ m > n}\), a następnie pomnożyć przez odpowiednio dużą stałą. Taki ciąg można zdefiniować jako \(\displaystyle{ x_n = \sum_{i=1}^{k} \frac{b_i}{2^i}}\), gdzie \(\displaystyle{ n = \sum_{i=0}^{k-1} b_i \cdot 2^i}\) jest rozwinięciem dwójkowym liczby \(\displaystyle{ n}\). Kilka pierwszych wyrazów:

\(\displaystyle{ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{8}, \frac{5}{8}, \frac{3}{8}, \frac{7}{8}, \frac{1}{16}, \frac{9}{16}, \frac{5}{16}, \frac{13}{16}, \frac{3}{16}, \frac{11}{16}, \frac{7}{16}, \frac{15}{16}, \ldots}\)

Poprzez analizę dostatecznie wielu początkowych wyrazów tego ciągu, widzimy że spełnia on wymagane warunki.

A trochę poważniej, to dowód wydaje się dość techniczny i na razie nie udało mi się go sensownie zapisać. Może komuś się zechce nad tym popracować, a jeśli nie, to w niedługim czasie postaram się dokończyć ten pomysł.

P.S. Przypomniałem sobie, że taki ciąg ma nazwę:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Van_der_Corput_sequence

, znany jako jeden z najprostszych przykładów ciągu o niskiej dyskrepancji (ang. discrepancy, nie wiem czy istnieje polski odpowiednik). Z tym, że w linku nie ma dowodu własności którą potrzebujemy, także problem pozostaje otwarty.