Lemat z indeksami

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli ciąg liczb dodatnich jest taki ze \(\displaystyle{ a_{n+m} \leq a_n +a_m}\) dla \(\displaystyle{ n, m=1, 2, 3, ...}\) to ciąg \(\displaystyle{ \frac{a_n}{n}}\) jest zbieżny

[Janusz Tracz]

szkic:    

Analogią tego lematu jest inny lemat dla ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) o wyrazach dodatnich oraz własności \(\displaystyle{ b_{n+m} \le b_n \cdot b_m}\) dla każdej pary \(\displaystyle{ n,m}\). Istnieje skończona granica ciągu \(\displaystyle{ \sqrt[n]{b_n}}\). Jako, że \(\displaystyle{ b_n \le b_1^n}\) co łatwo udowodnić indukcyjnie wszak z założenia mamy \(\displaystyle{ b_2 \le b_1^2}\) oraz \(\displaystyle{ b_{n+1} \le b_nb_1 \le b_1^{n+1}}\). Zatem ciąg \(\displaystyle{ \sqrt[n]{b_n}}\) jest ograniczony przez \(\displaystyle{ 0}\) z dołu oraz \(\displaystyle{ b_1}\) z góry. Można woskować zatem o istnieniu skończonych granic

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \inf\sqrt[n]{b_n}=\beta_d}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sup\sqrt[n]{b_n}=\beta_g}\)

Pokazując, że \(\displaystyle{ \beta_g \le \beta_d}\) udowodnimy, że istnieje \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{b_n}}\). Z tym ostatnim mam problem. Gdyby jednak udało się to pokazać to biorąc logarytm ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) dostaniemy tezę z zadania.

[Dasio11]

Niech \(\displaystyle{ s = \inf_{m \in \NN} \frac{a_m}{m}}\). Wykażemy, że w istocie \(\displaystyle{ \lim_{m \to \infty} \frac{a_m}{m} = s}\).

Najpierw łatwą indukcją dowodzimy, że dla dowolnych \(\displaystyle{ n, k \in \NN}\) jest \(\displaystyle{ a_{k \cdot n} \le k \cdot a_n}\).

Ustalmy teraz \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\). Oczywiście dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{a_m}{m} \ge s}\), zatem pozostaje wykazać, że od pewnego miejsca jest \(\displaystyle{ \frac{a_m}{m} \le s + 15\varepsilon}\). Weźmy więc \(\displaystyle{ n \in \NN}\) spełniające nierówność \(\displaystyle{ \frac{a_n}{n} \le s+\varepsilon}\) i niech \(\displaystyle{ A = \max \, \{ a_r : 0 \le r < n \}}\) (przy czym przyjmujemy, że \(\displaystyle{ a_0 = 0}\)). Dowolne \(\displaystyle{ m \in \NN}\) możemy przedstawić w postaci \(\displaystyle{ m = k \cdot n + r}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \NN}\) i \(\displaystyle{ 0 \le r < n}\), a następnie oszacować:

\(\displaystyle{ \frac{a_m}{m} = \frac{a_{k \cdot n + r}}{k \cdot n + r} \le \frac{k \cdot a_n + a_r}{k \cdot n} = \frac{a_n}{n} + \frac{a_r}{k \cdot n} \le s + \varepsilon + \frac{A}{k \cdot n}.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest dostatecznie duże, to składnik \(\displaystyle{ \frac{A}{k \cdot n}}\) staje się mniejszy od \(\displaystyle{ \varepsilon}\), a wtedy: \(\displaystyle{ \frac{a_m}{m} \le s+2\varepsilon}\), co kończy dowód.