Jak uzasadnić że ciąg jest ograniczony

[degel123]

Cześć mam takie wyrażenie:
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{n}+\frac{3}{(2n)^2}-\ldots\right)=1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\ldots=1+\frac{1}{n}+\frac{f(n)}{n^2}}\)

Jak uzasadnić że \(\displaystyle{ f(n)}\) jest ograniczone?

[MrCommando]

Ten zapis nie ma większego sensu, bo te kropki sugerują że mamy do czynienia z jakąś nieskończoną sumą - w dodatku pomnożoną przez coś zależnego od \(\displaystyle{ n}\) - sprawdź czy na pewno wszystko ok. I w dodatku co to jest to \(\displaystyle{ f(n)}\)?

[degel123]

Mam coś takiego i rozpisuje z szeregu taylora
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^2\cdot \left(1+\frac{1}{2n}\right)^{-2}=\left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{n}+\frac{3}{(2n)^2}-\ldots\right)=1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\ldots=1+\frac{1}{n}+\frac{f(n)}{n^2}}\)

Musze to miec zapisane dokladnie w takiej postaci jak na koncu, gdzie \(\displaystyle{ f(n)}\) ma byc ciagiem ograniczonym. Jak uzasadnic ze jest? Chyba ze znacie lepszy sposob zeby dojsc do takiej sytuacji jak na koncu

[a4karo]

Ale po co tak kombinować z szeregiem???
\(\displaystyle{ \frac{\frac{(n+1)^2}{n^2}}{\frac{(2n+1)^2}{(2n)^2}}=\frac{4n^2+8n+4}{4n^2+4n+1}\\
=1+\frac{4n+3}{4n^2+4n+1}=1+\frac{1}{n}\frac{4n^2+3n}{4n^2+4n+1}\\
=1+\frac{1}{n}\frac{4n^2+4n+1-n-1}{4n^2+4n+1}+1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n}\frac{n+1}{4n^2+4n+1}\\
=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\red{\frac{n^2+n}{4n^2+4n+1}}}\)

Potrafisz pokazać, że to czerwone *czyli \(\displaystyle{ f(n)}\) jest ograniczone?

[degel123]

Tak, dzięki