Jak uzasadnić że ciąg jest ograniczony

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
degel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 189
Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 63 razy

Jak uzasadnić że ciąg jest ograniczony

Post autor: degel123 » 31 maja 2019, o 18:42

Cześć mam takie wyrażenie:
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{n+1}} &= \left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{n}+\frac{3}{(2n)^2}-\ldots\right)=1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\ldots=1+\frac{1}{n}+\frac{f(n)}{n^2}}\)

Jak uzasadnić że \(\displaystyle{ f(n)}\) jest ograniczone?

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 541
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 104 razy

Jak uzasadnić że ciąg jest ograniczony

Post autor: MrCommando » 31 maja 2019, o 19:00

Ten zapis nie ma większego sensu, bo te kropki sugerują że mamy do czynienia z jakąś nieskończoną sumą - w dodatku pomnożoną przez coś zależnego od \(\displaystyle{ n}\) - sprawdź czy na pewno wszystko ok. I w dodatku co to jest to \(\displaystyle{ f(n)}\)?

degel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 189
Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 63 razy

Re: Jak uzasadnić że ciąg jest ograniczony

Post autor: degel123 » 31 maja 2019, o 19:35

Mam coś takiego i rozpisuje z szeregu taylora
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^2\cdot \left(1+\frac{1}{2n}\right)^{-2}=\left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{n}+\frac{3}{(2n)^2}-\ldots\right)=1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\ldots=1+\frac{1}{n}+\frac{f(n)}{n^2}}\)

Musze to miec zapisane dokladnie w takiej postaci jak na koncu, gdzie \(\displaystyle{ f(n)}\) ma byc ciagiem ograniczonym. Jak uzasadnic ze jest? Chyba ze znacie lepszy sposob zeby dojsc do takiej sytuacji jak na koncu

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17369
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2925 razy

Re: Jak uzasadnić że ciąg jest ograniczony

Post autor: a4karo » 31 maja 2019, o 20:01

Ale po co tak kombinować z szeregiem???
\(\displaystyle{ \frac{\frac{(n+1)^2}{n^2}}{\frac{(2n+1)^2}{(2n)^2}}=\frac{4n^2+8n+4}{4n^2+4n+1}\\ =1+\frac{4n+3}{4n^2+4n+1}=1+\frac{1}{n}\frac{4n^2+3n}{4n^2+4n+1}\\ =1+\frac{1}{n}\frac{4n^2+4n+1-n-1}{4n^2+4n+1}+1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n}\frac{n+1}{4n^2+4n+1}\\ =1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\red\frac{n^2+n}{4n^2+4n+1}}\)

Potrafisz pokazać, że to czerwone *czyli \(\displaystyle{ f(n)}\) jest ograniczone?

degel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 189
Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 63 razy

Re: Jak uzasadnić że ciąg jest ograniczony

Post autor: degel123 » 31 maja 2019, o 22:46

Tak, dzięki

ODPOWIEDZ