Obliczanie granicy metodą całki oznaczonej

[Wolfstein]

Cześć,

czy byłby ktoś tak uprzejmy i pomógł rozwiązać i wyjaśnić poniższą granice?

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty }\left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}\right)}\)

Z tego co wiem powinno to się liczyć za pomocą całki Riemanna.

Dziękuje bardzo za pomoc!

[MrCommando]

Jest to granica pewnego ciągu sum całkowych funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{1+x}}\) na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\) (spróbuj to uzasadnić). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest na tym przedziale ciągła, więc całkowalna, zatem taka granica istnieje i jest równa \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x)\mbox{d}x=\ln 2}\).

[Wolfstein]

MrCommando, dziękuję Ci bardzo za szybką odpowiedz.
Mam do Ciebie jeszcze jedno pytanie:

funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{1+x}}\) na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\)

Skąd wiemy, że ten przedział jest równy \(\displaystyle{ [0,1]}\)
Bo właśnie z tym się męczę od trzech dni


Z góry dziękuje za odpowiedź.

[MrCommando]

Twoja granica to granica ciągu sum całkowych \(\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}}\). Jak popatrzymy chwilę na tę sumę to widać, że ta suma odpowiada normalnemu ciągowi podziałów odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\) \(\displaystyle{ \Delta_n=\left\{\frac{k}{n}: k=1,2,\dots,n\right\}}\) z punktami pośrednimi \(\displaystyle{ c_j=\frac{j}{n}}\) dla \(\displaystyle{ j=1,2,\dots,n}\). Długość każdego małego przedziału przez którą mnożymy wartości w punktach pośrednich jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), pierwszy składnik tej sumy jest wyznaczony dla punktu pośredniego \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), a ostatni \(\displaystyle{ \frac{n}{n}=1}\) - po tym to widać.

[Rafsaf]

Skąd wiemy, że ten przedział jest równy \(\displaystyle{ [0,1]}\)

W sumie to nie wiemy
Tak jest wygodnie, możemy wtedy brutalnie uznać każde(tutaj jest jedno) \(\displaystyle{ \frac{k}{n}}\) z sumy jako \(\displaystyle{ x}\) w całce do której to dąży i będzie działało.

Ale nic nie stoi na przeszkodzie by całkować po przedziale \(\displaystyle{ \left[ 1,2\right]}\) czy jakimkolwiek innym długości jeden, z tym że wtedy musimy odpowiednio wziąć poprawkę na zmianę postaci punktów z podziału, potem to się zgadza bo

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx =\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx}\)

[Wolfstein]

To wiele wyjaśnia
Dziękuje Ci bardzo za pomoc.